Теорема о сумме углов треугольника - особенности и следствия

Школьный период, когда изучается теорема о сумме углов треугольника 7 класс, именно со стартом получения знаний по дисциплине геометрия в жизнь учащихся входят основные понятия, требующие освоения:

• углы;
• треугольники;
• градусные меры;
• теоремы;
• аксиомы;
• доказательства и многое другое.

Но поскольку 7 класс – это уже средняя школа, школьники имеют понятие о треугольниках различных видов. А также в чем их различия – остроугольного от прямоугольного, равностороннего от равнобедренного и т. п. Понятие же сумма углов и доказательство связанных с ним теорем – сфера изучения материала семиклассниками. Здесь же будут разобраны частные варианты – для острых углов, тупых, прямых и т. д. Эти ситуации пригодятся не только при решении математических, геометрических задач. Но и при выполнении заданий по другим предметам, например, при использовании физика 8 класс гдз и иных. Любой треугольник, рассматриваемый математикой, может иметь углы различных типов, как острые, так и прямые, и тупые. Однако справедливость постулата будет неизменна в любом случае: теорема о сумме углов прямоугольного треугольника в общем виде будет такой же, как и для любых других. К внутренним углам, рассматриваемым данным правилом, относятся те, что заключены внутри замкнутой кривой, образованной тремя отрезками – сторонами фигуры. Смысл теоремы знали еще в Древнем Египте, но в то время он был установлен эмпирическим путем. То есть, посредством наблюдения и последующей записи выводов. Понятно, что в те времена доказательство еще отсутствовало. Оно впервые появляется в трудах Прокла, в рамках его комментариев к «Началам» Евклида. Там было записан именно современный вариант, тогда как более ранний, первый, приведен самим Евклидом в книге №1 «Начал» и базируется на чертеже. Согласно другой теории, автором правила с доказательством является Пифагор, но эта версия неоднократно подвергалась обоснованному сомнению в неевклидовой геометрии.

Современная теорема о сумме углов треугольника с доказательством

Она гласит, что сумма внутренних углов любого треугольника составляет 180 градусов. Складывая величины градусной меры любых углов треугольника, мы неизменно получаем эту величину, независимо от того, будет ли он остроугольным, равнобедренным или другим. Соответственно, исходя из правила, понятно, что двух тупых углов внутри данной фигуры быть не может, поскольку при сложении их значений получится число больше 180. Для доказательства надо:

1. Провести через вершину одного из углов прямую, параллельную противолежащей этой вершине стороне.
2. Таким образом, в области этой вершины получилось три угла. Вместе они составляют развернутый угол, равный 180 градусам.
3. В результате при пересечении прилежащими к исследуемой вершине сторонами фигуры построенной прямой получаются накрест лежащие углы, которые будут попарно равны.
4. Далее равные им углы можно заменить на искомые. Тогда их сумма будет, так же, как и в условии, равна 180 градусов. Что и требовалось доказать.

При рассмотрении правила, важно учитывать некоторые особенности, которые имеет эта фигура. Если у нее три равных стороны, то она будет равносторонней. Если две – равнобедренной. Против большей стороны всегда лежит больший угол. Напротив равных углов лежат равные стороны. В любом треугольнике всегда имеется 2 острых угла. Любой из внешних углов по своим размерам всегда превышает внутренний и равен сумме двух, не смежных с ним, других углов треугольника. Существуют и отдельные следствия, которые характерны для частных геометрических случаев и подлежат отдельному рассмотрению.

Теорема о сумме внутренних углов треугольника: следствия и особенности

Некоторые из них ряд математиков выделяет в отдельные подвиды, например, теорема о сумме острых углов прямоугольного треугольника, не оспаривая общего вывода о ее величине, дает ряд уточнений. Среди них: расположение острых углов напротив катетов, длина гипотенузы всегда будет больше длины любого из катетов, но меньше сумм их длин. Если один из углов такого треугольника 90 градусов, то на сумму двух других приходится тоже 90 градусов. Данное следствие (свойство) легко выводится алгебраически 180 – 90 = 90. Если же фигура равнобедренная, то каждый из этих углов будет, соответственно, равен 45 градусам. Если фигура не прямоугольная, но имеет равные длины всех трех сторон, то каждый из ее углов будет острым, градусная мера его составит 60. В любом треугольнике углы либо все являются острыми, либо два из них – острые, а третий прямой или тупой. Катет, напротив которого расположен острый угол с градусной мерой 30, будет равен половине гипотенузы треугольника.

Для равнобедренных треугольников тоже существуют особые геометрические свойства. Например, проведенная к основанию высота в такой фигуре одновременно будет являться и медианой противолежащей стороны, и биссектрисой угла, из вершины которого она была опущена. Также она будет совпадать с проведенной через основание фигуры осью ее симметрии, что тоже нередко применяется в решении задач и в специальных практических целях и ситуациях.