Теорема о трех перпендикулярах, решения и доказательство

Время, когда в школе изучается одна из базовых в стереометрии теорема о трех перпендикулярах 10 класс, старшеклассники, выбравшие полную очную форму образования, должны как следует разобраться с этим математическим правилом. Поскольку оно относится к фундаментальным, данная теорема и ее доказательство, а также связанные с ней решения задач, есть в заданиях на обязательном итоговом математическом испытании для выпускников школ – ЕГЭ. Кроме того, еще до того, как школьники ее освоят и научатся доказывать, базовые постулаты из этого правила встречаются в рамках других дисциплин. Ознакомиться и попытаться решить эти задачи можно, изучая гдз по физике 8 класс Перышкин, в разделах, содержащих упражнения на плоскости и перпендикуляры к ним. Занимаясь, надо ориентироваться на основные составляющие успеха:

• регулярность;
• ответственность;
• системный и периодический контроль достигнутых результатов;
• умение использовать полученные навыки и умения на практике.

Что касается самой теоремы, не менее интересна и обратная к ней, примеры по которой тоже включены в экзаменационную часть. Важно и её практическое применение, что особенно важно для тех, кто ориентирован на техническую профессию, карьеру.

Теорема о трех перпендикулярах задачи с решением и доказательство

Основная формулировка выглядит так: прямая, перпендикулярная наклонной и проведенная на плоскости через основание данной наклонной, будет перпендикулярна и ее проекции. В ряде учебников делается следующая сноска. Их авторы утверждают, что прохождение через основание наклонной не является обязательным условием данной теоремы. Доказательством будет следующая последовательная схема шагов:

1. Осуществляется дополнительное построение. Проводится прямая, которая будет параллельна перпендикуляру к плоскости.
2. По свойству параллельных прямых, она также будет перпендикулярна этой плоскости, а значит, и любой другой прямой на этой плоскости.
3. Через две полученные параллельные прямые проведем плоскость. По законам математики она будет единственной.
4. В результате получилась прямая, которая перпендикулярна обеим пересекающим прямым. Исходя из этого, она будет перпендикулярна любой, принадлежащей этой плоскости прямой.

Что и требовалось доказать. Из рассмотренного и доказанного правила можно вывести несколько важных следствий. Они могут применяться как самостоятельные доказательства в математике и не только, так и в рамках решения тех или иных заданий. Первое следствие гласит, что если прямая, которая принадлежит плоскости, перпендикулярна проекции наклонной к данной плоскости, то она будет перпендикулярна и самой наклонной. В данной теореме и ее следствиях речь идет о таких перпендикулярах, как основании наклонной, перпендикуляре к ней и непосредственно самой этой наклонной. Другим следствием из рассмотренного правила считается теорема обратная теореме о трех перпендикулярах и ее особенности.

Теорема о трех перпендикулярах и обратная ей, их применение

Текст обратной теоремы гласит, что, когда прямая проводится к плоскости через основание наклонной и является перпендикулярной ей, она будет перпендикулярна и ее проекции на данную плоскость. Поскольку это обратная теорема о трех перпендикулярах доказательство ее тоже будет проистекать из постулатов, обратных исходной. То есть, то, что требовалось доказать, в данном случае будет данной величиной, а то, что было заявлено в условии в исходном варианте, в нынешнем случае становится, напротив, выводом. В ряде учебников для десятиклассников тексты приводятся полностью, в других они являются доказательными задачами для школьников. Часто они встречаются и в составе 13 задания профильной части экзамена по математике с соответствующими числовыми значениями. Например, от выпускников требуется найти угол между ребрами пирамиды с заданной высотой. Используя готовый шаблон-теорему, можно решить это задание достаточно быстро, сэкономив время для рассмотрения других или для проверки правильности выполнения работы. Другой пример – на доказательство перпендикулярности стороны и основания в прямоугольном параллелепипеде, тоже нередко встречающееся в рамках выполнения 13 задания. Стоит учесть, что за ее решение начисляется целых 3 первичных балла, что достаточно существенно в математике. А умение вспомнить и использовать нужные теоремы станет безусловным плюсом при оценивании работы экспертами. Распространенными в стереометрии заданиями на ее применение также являются доказательства перпендикулярности диагонали куба прямой, перпендикулярности прямой ребру в треугольной правильной призме, взаимной перпендикулярности скрещивающихся ребер тетраэдра и т. д. В практической не учебной деятельности рассмотренные выше правила и примеры будут актуальны для упрощения применения строительных или измерительных работ в том случае, когда наклонная и перпендикуляр станут основными понятиями, которые требуют учета, подлежат ему. Например, при строительстве каркаса кровли, крыши, если принять изначально скат крыши за прямоугольный треугольник и отталкиваться от этого допущения.