Теорема о внешнем угле треугольника и её доказательство
Одним из базовых постулатов геометрии считается теорема о внешнем угле треугольника, которая в обязательном порядке разбирается в рамках школьных уроков. В ряде случаев задания на эту тему включаются в экзаменационные вопросы обязательного математического итогового испытания ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому знания о внешнем угле должны быть сформированы четко и твердо. Поэтому с самого начала геометрии, а это 7 класс школы, надо быть настроенным на ответственную, целенаправленную, грамотную работу. С обязательной систематической проверкой ее результатов, оценкой их эффективности и качества знаний.
Сама эта теорема считается одной из основных в планиметрии, впервые она была выведена и доказана Евклидом. Причем доказательство этого древнегреческого математика, отца современной геометрии, отличалось от того, которым обычно пользуются его нынешние коллеги, последователи. Тем не менее, оно тоже достаточно интересное и достойно того, чтобы его изучить и понять. Сфера применения полученных в ходе изучения материала знаний достаточно велика. Это не только математические, но и связанные с ними науки, а также сопутствующая практика. Например, немало данных можно найти, изучив конспекты по физике 7 класс, соответствующие разделы и задания. И каждый раз, возвращаясь к теме, внимательно повторять пройденное.
Теорема о внешнем угле треугольника доказательство евклидово и современное
В первую очередь надо определиться с самим понятием внешнего угла треугольника. Согласно принятой в математике терминологии, это угол при определенной вершине плоского треугольника, который смежен с его внутренним углом при этой же вершине. Под внутренним же понимается тот, который был образован двумя, выходящими из этой вершины, сторонами. Согласно этому понятию, внешний будет образован выходящей из этой же вершины стороной и продолжением другой стороны, которая также выходит из этой вершины. В соответствии с определением, он будет иметь два свойства:
- будет равен разности между 180 градусами и градусной мерой внутреннего угла при той же вершине;
- может принимать градусные значения от нуля до 180, но не включительно, исключая эти значения. Смысл теоремы заключается в том, что внешний угол треугольника равен сумме двух, не смежных с ним, внутренних углов.
Рассмотрим два типа доказательств, с помощью которых можно убедиться в верности приведенного выше математического утверждения:
- Это вариант, который имеет теорема о внешнем угле треугольника 7 класс, приведенная в школьном учебнике и рекомендованная к использованию на экзамене. Сумма внешнего и внутреннего углов треугольника в общем составляет 180 градусов. Также по теореме о сумме углов треугольника она будет равна той же величине. Соответственно: ∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3 + ∠ При сокращении обеих частей уравнения на ∠4, получим следующее тождество: ∠1 = ∠2 + ∠3.Что и требовалось доказать.
- Евклид в своих рассуждениях пользуется свойствами углов при параллельных и секущих прямых, поскольку он посвятил значительное количество времени именно изучению параллельности прямых и их свойств. Через искомый внешний угол проводится луч, параллельный противоположной вершине стороне. На нем отмечается точка В1, а на продолжении стороны, образующей внешний угол, точка В2. Далее рассматриваются полученные параллельные отрезки и секущая к ним – сторона треугольника, на которой располагаются искомые внешний и внутренний углы. Результат – внешний угол В состоит из суммы двух внутренних углов, поскольку они равны как соответственные и накрест лежащие при построенных отрезках. Что и требовалось доказать.
Зная свойства внешних углов, можно найти практическое применение полученным знаниям.
Примеры теорема о внешнем угле треугольника, свойства и использование
К примерам геометрических задач, которые можно решать, применяя полученную выше информацию, можно отнести нахождение внешних углов, определение градусных мер внутренних углов при известных значениях внешнего и одного из внутренних и аналогичные задания. То есть, на практике эти знания всегда используются в том случае, когда требуется вычислить геометрические меры неизвестных углов, в том числе в тех задачах с многоугольниками, где используются треугольники, где построение, вычисление базируется на их свойствах.
Другой интересный и важный момент, который связан с рассмотренной выше проблемой – многочисленные свойства внешнего угла. Они широко известны в математике, в том числе – применяются в сложных вычислениях. Но в рамках школьной программы особенно актуально и востребовано одно из них. Это так называемое свойство биссектрис. Оно заключается в том, что биссектрисы внешнего и внутреннего угла треугольника по отношению друг к другу являются перпендикулярными отрезками. Данная формула тоже актуальна и часто применяется школьниками на проверочных и контрольных работах, а также выпускниками на итоговых испытаниях. Ее твердое знание и умение включить в решение задачи позволяет существенно сократить время на ее выполнение и сокращает риск допускаемых в процессе проводимых действий ошибок.