Теорема Птолемея и её применение

Среди многочисленных научных трудов ученых древности и средневековья, нового времени теорема Птолемея представляет собой особое, отдельное научное явление. И само по себе имя этого ученого заслуживает особого внимания, изучения как его заслуг, так и биографии. А она тоже содержит немало тайн и загадок. Принято считать его древнегреческим ученым, но у современных историков нет практически никаких сведений о его жизни. Известно только, что Птолемей совершил выдающиеся открытия в области:

• астрономии;
• математики;
• астрологии;
• оптики;
• механики;
• истории музыки;
• географии и других.

В своих исторических трудах первых веков нашей эры имя ученого иногда связывали с династией Птолемеев, но сегодня это считается ошибкой, связанной с совпадением имен. Есть сведения, что Птолемей был римским гражданином. Многочисленные примеры его работ, их обширный список впечатляют. Главной признается «Великое собрание», которая представляет собой энциклопедию по астрономии. А также «Оптика», «География» и многое другое, математические задачи, представленное в которых доказательство тех или иных теорий актуально и поныне. К сожалению, некоторые труды утеряны, например, два сочинения из области геометрии, о которых точно известно, что они существовали. Именно из этой области человечеству известна и широко применяется формула, доказательство которой было приведено этим ученым.

Теорема Птолемея формула и особенности применения

Известная в математике теорема Птолемея задачи по которой используются также в тригонометрии и астрономии, связывает длину диагоналей вписанного четырехугольника с длинами ее сторон. Она гласит, что в любом вписанном в окружность выпуклом четырехугольнике сумма произведений длин противоположных сторон этой фигуры будет равна произведению длин его диагоналей. В формульном варианте запись будет иметь вид: AC·BD = AB·CD + AD·BC.

Понятен суть и смысл, который несет теорема Птолемея доказательство ее тоже логичное и изящное с точки зрения математики. Оно основывается на принципе подобия треугольников. Например, можно рассмотреть его, руководствуясь в качестве модели вписанным в окружность четырехугольником АВСД. То есть, для доказательства необходимо построить такую окружность, куда вписать фигуру АВСД. Затем на его диагонали АС надо взять точку Е таким образом, чтобы углы АВД и СВЕ были равны между собой. Поскольку треугольники АВД и ВСЕ подобны, а их углы равны, можно сделать вывод, что это равные треугольники. Далее доказывается равенство следующей пары треугольников: АВЕ = ВСД и так далее. Затем полученные равенства складывают, получая в итоге формулу, которая и является основным формульным равенством теоремы Птолемея, что и требовалось доказать.

Другим вариантом доказательства является нахождение подобия этих треугольников по двум углам, что, в свою очередь, приводит к равенству пропорций. По заверениям ученых-математиков разных стран, данная теорема является мостом между современной математической наукой и геометрией древности. Она позволяет сохранять, аккумулировать знания, и затем, с их помощью, исследовать более сложные модели и явления. При этом опираясь на четкую доказательную базу, на основу, которая веками не вызывает ни у кого сомнения в своей непоколебимости и очевидности. На ней, в том числе, базируются и различные современные технологии, включая открытия в сфере коммуникаций, связи, космические модели и расчеты.

Помимо приведенного доказательства есть и другие, менее распространенные:

1. С применение метода площадей. В литературе встречается достаточно редко.
2. Более распространенное, с использованием так называемой инверсии. То есть, за счет преобразования евклидовой площади. Здесь прямые либо окружности переводятся обобщенные окружности, причем одна из них переводится в себя поточечно.

Обычно эти версии не входят в школьные учебники математики. Однако их самостоятельное изучение подарит тем, кто увлечен геометрией, возможность лучше и точнее понять азы математической науки, погрузиться в ее теорию и историю.

Труды Птолемея теорема и доказательства: актуальность применения сегодня

Как правило, в настоящее время рассмотренный выше труд актуален для альтернативного доказательства теоремы Пифагора. Для этого пифагоров прямоугольный треугольник расширяется до прямоугольника, который вписывается в окружность. И на основе свойств прямоугольника и теоремы Птолемея доказывается теорема Пифагора. Также применяется для решения задач, которые связаны с вписанными четырехугольниками. Ряд заданий могут быть представлены в конспектах по физике 8 класс и других аналогичных источниках, где актуальны взаимосвязи различных исследований и теорий математических наук, принципы их применения. То есть, не только непосредственно в самой математике, геометрии, но и в физике, технологии, электромеханике и в иных связанных с ними дисциплинах. Сам же автор широко использовал теорему для составления таблиц хорд, тригонометрических соотношений, которые были ему необходимы в его астрономических расчетах, а также ряде других актуальных работ.