Теорема сложения вероятностей: частные и общие случаи
Одним из ключевых законов классической теории вероятностей является теорема сложения вероятностей для совместных событий, несовместных и любых. Освоив ее, школьники и студенты смогут успешно находить и применять доказательство этих явлений на практике, решать соответствующие задачи, использовать расчет вероятностей совместных событий в рамках выполнения задания по другим дисциплинам. Например, теорема может пригодиться для понимания примеров, приведенных в гдз по физике 8 класс, хотя сама теория сложения начинает изучаться старшеклассниками в рамках алгебры лишь в следующем, 9-м классе. Тем не менее, основные моменты и термины, на основе которых формулируется теорема сложения вероятностей несовместных событий и иных, можно рассмотреть и заранее:
- событие – это то, что может и произойти, и нет в ходе проведения эксперимента или выполнения заранее установленного ряда условий;
- виды событий: невозможные, достоверные и случайные. Последние – те, которые могут как произойти, так и нет. Первые – которые в конкретных условиях абсолютно точно не произойдут, например, при +30 градусах вода не сможет остаться в твердом состоянии в сосуде. Достоверные же, напротив, точно произойдут. Если в предыдущем условии поменять температуру на минус 30 градусов, то оно будет выполнено.
Сама по себе теория вероятностей занимается обследованием закономерностей (объективных) в отношении случайных событий. Она относится к базовой теории математической статистики, занимающейся:
- Разработкой методик сбора информации.
- Её обработкой.
- Описанием итогов произведенных наблюдений и опытов.
Такие эксперименты и испытания, а также выводы из них обеспечивают познание процессов реального мира, происходящего в нем.
Теорема сложения вероятностей совместных событий доказательство и понятия
Для того, чтобы разобраться в этом, надо изучить еще два понятия-термина. Под совместными событиями в изучаемой математической теории понимаются такие, при которых с наступлением одного из них не отменяется другое. Под несовместными, соответственно – одно однозначно исключает возникновение другого. Под суммой двух и нескольких здесь понимается объединение случаев, то есть, при происхождении А происходит и В. Соответственно, это записывается как А + В. Другой вариант – теорема сложения вероятностей для несовместных событий: вероятность данной суммы равна сумме этих вероятностей, то есть Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Чтобы ее доказать, представляется следующая схема. Пусть количество исходов, благоприятствующих событию А, будет равно N (A), а событию В, соответственно, N (В). Поскольку они несовместны, элементарные исходы, благоприятствующие А и В, отсутствуют. Следовательно, А + В будут благоприятствовать N (A) + N (В). Соответственно, по классическому определению термина, P(A+B) = (N(A) + N(B)) / N = P(A) + P(B). Что и требовалось доказать.
Существует ряд следствий из выше доказанного. Так, для полной группы несовместных событий формула примет вид: P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) +… + P(An) = 1. Результат, как видно, будет равен единице. Для нескольких попарно несовместных: P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) +… + P(An), для противоположных - P(A) + P(A¯) = 1. Для того, чтобы доказать верность следствия каждого из большого числа приведенных выше ситуаций, традиционно применяется для расчетов метод математической индукции.
Теорема сложения вероятностей совместных событий пример и общие случаи
Для любых двух суммируемых событий можно отыскать их вероятность посредством складывания каждого из них по отдельности и вычитания вероятности одновременного образования события А и В.
Для доказательства надо взять м за полное количество результатов эксперимента. Все результаты, которые будут соответствовать А, обозначаются н1, а которые В, соответственно, н2. Те, которые соответствуют одномоментному появлению А и В, обозначится как н3. Все элементарные результаты эксперимента n1+n2-n3 будут соответствовать А + В. Если же н3 будет равна нулю, то все рассматриваемые ситуации не происходят одновременно, поэтому являются несовместными и поэтому такой случай будет относиться к рассмотренной выше теореме сложения.
Подобные примеры надо периодически и систематически рассматривать, тренироваться и отрабатывать автоматический навык решения. Это важно, в том числе, потому что такие задания встречаются в экзаменационных билетах. В частности, в задаче №10 в итоговом испытании ОГЭ, который сдают все без исключения выпускники. Обычно в тренировочных и демонстрационных вариантах для подготовки к экзаменам встречаются задания на определение классической вероятности. Эти задания обычно не вызывают трудностей у выпускников. Однако встречаются и более сложные, в том числе – на рассмотренную выше тему. В рамках ОГЭ для девятиклассников подавляющее большинство вопросов по теме несовместных событий, в 11-м – уже на совместные, которые начинают изучать в рамках алгебры и начала анализа в десятом классе школы. Для уверенного решения классических заданий надо выполнить как можно больше разных и проверить ход своих действий и их результат.