Как умножать матрицу на число
Числовой множитель в такой операции называют скаляром. Его применяют к каждой позиции, сохраняя прежнее расположение компонентов. Если A имеет размер m × n, то kA получает тот же размер при любом k.
Для A
A = [[a, b], [c, d]]
справедливо равенство
kA = [[ka, kb], [kc, kd]].
Складывать соседние значения, переставлять их либо обрабатывать только один ряд нельзя. Множитель k должен появиться во всех ячейках. В отличие от произведения двух таблиц, искать комбинации строк и столбцов здесь не требуется.
До вычислений отметьте:
- значение скаляра и его знак;
- исходный размер;
- число ячеек, которые предстоит обработать;
- дроби, нули, отрицательные числа;
- форму окончательного ответа.
Такая подготовка особенно полезна для объемных примеров: она помогает ничего не пропустить.
Как матрицу умножить на число пошагово
Пусть k = −2, а
A = [[2, −3, 0], [1, 4, −5]].
A содержит две строки и три столбца. После вычисления форма 2 × 3 сохранится.
- Первая ячейка: −2 × 2 = −4.
- Вторая ячейка: −2 × (−3) = 6.
- Для нуля получаем −2 × 0 = 0.
- В нижнем ряду вычисляем −2 × 1 = −2, затем −2 × 4 = −8.
- Последняя позиция дает −2 × (−5) = 10.
Следовательно,
−2A = [[−4, 6, 0], [−2, −8, 10]].
Отрицательный коэффициент поменял знак каждой ненулевой величины, увеличив ее модуль вдвое. С нулем никаких изменений не произошло. Разбор по ячейкам делает правило наглядным и не позволяет потерять минус.
До арифметики составьте карту знаков. Положительный множитель сохраняет плюсы и минусы, отрицательный меняет их на противоположные; нулевые позиции остаются нулевыми. После расчета сравните знаки с картой. Такой контроль не подтверждает модуль ответа, зато быстро выявляет потерянный минус.
Число полученных результатов тоже служит проверкой. Схема 2 × 3 должна содержать шесть ответов. Если заполнено пять мест, одна позиция осталась без множителя.
Как умножить число на матрицу с дробными элементами
Порядок записи не влияет на действие: выражения kA и A·k означают применение k ко всем компонентам. Поэтому скаляр слева или справа требует одинаковых вычислений.
Возьмем
B = [[6, −9], [12, 3]],
k = 1/3.
Умножение на 1/3 равносильно делению каждой исходной записи на 3:
(1/3)B = [[2, −3], [4, 1]].
При дробях используйте обычные правила сокращения. Например, (−3/4) × (8/9) = −2/3. Удобнее сократить 3 и 9, затем 8 и 4, а уже потом перемножить оставшиеся множители. Так числа становятся меньше, риск арифметической ошибки снижается.
Если ученик застрял на сложном примере и не понимает, в какой ячейке появился неверный знак, фото гдз поможет получить пошаговый разбор и найти место расхождения. После подсказки стоит самостоятельно пересчитать проблемный ряд, сопоставляя исходные данные с результатом.
Как число умножить на матрицу: важные случаи
Некоторые коэффициенты позволяют заранее предсказать ответ:
- k = 1 сохраняет исходную таблицу;
- k = 0 дает нулевую матрицу того же размера;
- k = −1 дает противоположную матрицу −A;
- |k| > 1 увеличивает модули ненулевых элементов;
- 0 < |k| < 1 уменьшает их модули.
Два последних признака позволяют оценить вычисления. Отрицательная дробь, модуль которой меньше единицы, одновременно меняет знаки и уменьшает абсолютную величину каждого элемента. Если ответ ведет себя иначе, следует проверить арифметику.
Как умножать число на матрицу с помощью свойств
Для скаляров k, t и одинаковых по размеру таблиц A, B выполняются равенства:
k(A + B) = kA + kB;
(k + t)A = kA + tA;
k(tA) = (kt)A.
Первое равенство позволяет выбрать удобный порядок действий. Например, в выражении 3(A + B) допустимо сначала сложить A с B, затем применить коэффициент 3. Другой путь — найти 3A, 3B, после чего сложить результаты. Оба способа приводят к одному ответу.
Для сложения размеры A и B обязаны совпадать. Умножение на скаляр доступно для прямоугольной либо квадратной таблицы любого размера.
Частые ошибки и проверка
Распространенная ошибка — обработать только верхний ряд. Чтобы избежать пропуска, двигайтесь по таблице слева направо, сверху вниз, отмечая готовые ячейки. Размер ответа менять нельзя.
При отрицательном коэффициенте контролируйте знак каждого элемента: минус на минус дает плюс, ноль остается нулем. Скобки означают, что действие распространяется на все содержимое.
Если k ≠ 0, готовую таблицу можно разделить на k. Для примера с −2 обратное действие возвращает [[2, −3, 0], [1, 4, −5]]. При k = 0 такая проверка невозможна, поскольку деление на ноль не определено.
Дополнительно сравните любую ячейку с исходной позицией. Элемент во втором ряду третьего столбца образуется только из числа, стоявшего там прежде. Перестановки при скалярном умножении не выполняются.
Итак, чтобы умножить матрицу на скаляр, нужно применить коэффициент ко всем элементам без исключения, сохранив их места. Аккуратная работа со знаками, предварительное сокращение дробей и обратное действие обеспечивают надежную проверку.
