Как умножить матрицу на матрицу
При матричном умножении нельзя просто перемножить элементы, расположенные на одинаковых местах. Каждая ячейка результата объединяет горизонтальный вектор первого множителя с вертикальным вектором второго. До вычислений проверяют совместимость: матрицу A формата m × n можно умножить справа на B формата n × p. Число столбцов A должно совпадать с числом строк B.
Результат C = AB получит формат m × p: первый параметр задает A, второй — B. Например, операция для таблиц 2 × 3 и 3 × 4 определена; итоговая схема равна 2 × 4. Обратная запись потребовала бы совместимости 3 × 4 с 2 × 3, которой здесь нет.
До начала работы отметьте:
- формат первого множителя;
- формат второго множителя;
- совпадение внутренних показателей;
- будущую форму ответа по внешним параметрам;
- порядок, указанный в задании.
Такая проверка не позволит тратить время на арифметику для неопределенной операции.
Как матрицу умножить на матрицу: правило строки и столбца
Пусть C = AB. Индексы элемента cᵢⱼ указывают его позицию в итоговой таблице. Для расчета берем i-й ряд A, затем j-ю вертикаль B. Компоненты одинаковых позиций попарно перемножаем, полученные произведения складываем. Так вычисляется скалярное произведение выбранных векторов.
Если вектор-строка имеет вид (a₁, a₂, a₃), а вектор-столбец — (b₁, b₂, b₃), то
cᵢⱼ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
Количество слагаемых задает параметр n. Для новой позиции нужную пару выбирают заново.
Практический алгоритм:
- Сравните внутренние числа n у обоих множителей.
- Начертите пустую таблицу требуемого формата m × p.
- Возьмите верхний ряд слева и первую вертикаль справа.
- Выполните попарные произведения, найдите их сумму.
- Перейдите к соседней вертикали, сохраняя выбранный ряд.
- Заполнив ряд ответа, переходите к следующему набору слева.
Направление нельзя менять посередине расчета: строка берется слева, столбец — справа.
При этом важно, чтобы на каждом шаге было понятно, что именно и с чем вы умножаете.
Заполняйте черновик последовательно: сначала верхнюю часть C, перебирая вертикали B слева направо, затем смените исходный набор A. Такой порядок снижает риск соединить элементы из разных групп.
Полный пример произведения 2 × 3 и 3 × 2
Возьмем
A = [[1, 2, −1], [3, 0, 4]],
B = [[2, 1], [−1, 5], [3, 2]].
A имеет формат 2 × 3, B — 3 × 2. Смежные параметры 3 совпали, поэтому AB существует. По внешним данным видно: ответом станет квадратная таблица второго порядка.
Рассчитаем четыре позиции:
c₁₁ = 1 × 2 + 2 × (−1) + (−1) × 3 = 2 − 2 − 3 = −3;
c₁₂ = 1 × 1 + 2 × 5 + (−1) × 2 = 1 + 10 − 2 = 9;
c₂₁ = 3 × 2 + 0 × (−1) + 4 × 3 = 6 + 0 + 12 = 18;
c₂₂ = 3 × 1 + 0 × 5 + 4 × 2 = 3 + 0 + 8 = 11.
Следовательно, AB = [[−3, 9], [18, 11]]. Первая строка дала ряд (−3, 9), вторая — (18, 11).
Индексы помогают восстановить источник любого ответа. В c₁₂ первый индекс сохраняет верхний ряд A, второй выбирает правую вертикаль B. Для c₂₁ берется второй ряд слева, затем первый вертикальный набор справа. Это правило исключает поэлементное перемножение соседних ячеек.
Когда в задании на распечатке или рабочем листе непонятно, откуда взялось значение конкретной ячейки, решебник по фото поможет увидеть пошаговый разбор выбранной пары «строка — столбец». После подсказки пересчитайте позицию: сверьте три попарных умножения, знаки, сумму.
Как правильно умножить матрицу на матрицу и проверить ответ
Сначала сверяют форму готовой таблицы. В разобранном примере она обязана быть 2 × 2. Потом независимо пересчитывают угловые позиции. Для c₁₁ используются (1, 2, −1) и (2, −1, 3); скалярное произведение равно −3. Для c₂₂ нужны (3, 0, 4) и (1, 5, 2), что дает 11.
Проверьте структуру расчетов:
- каждая сумма содержит три произведения;
- первый индекс cᵢⱼ выбирает ряд A;
- второй индекс выбирает вертикаль B;
- нулевой элемент обнуляет лишь свое слагаемое;
- знаки отрицательных значений учтены отдельно.
Полезен независимый контроль: сначала выпишите выбранные пары, затем повторите арифметику. Расхождение в одной позиции обычно означает неверно выбранную вертикаль, перестановку элементов либо потерянный минус. Если решение записано подробно, после каждого действия ставьте промежуточный итог: так легче заметить, на каком именно шаге возникла ошибка, и не переделывать весь пример.
Когда произведение не существует
Матрица 2 × 3 не может быть умножена справа на матрицу 2 × 2: внутренние показатели 3 и 2 различаются. Добавлять нули или отбрасывать элементы ради искусственного совпадения запрещено. Обратная операция для схем 2 × 2 и 2 × 3 уже определена; ответ получит размер 2 × 3.
Порядок множителей принципиален. В полном примере AB имеет размер 2 × 2, тогда как BA — 3 × 3. Результаты различаются даже формой. У квадратных таблиц размеры могут совпасть, однако равенство AB = BA все равно не гарантировано. Это свойство называют некоммутативностью матричного умножения.
Итак, первым делом проверяют совместимость, намечают форму ответа. Далее любую позицию находят через конкретную пару исходных векторов. Контроль индексов, знаков и двух независимо пересчитанных ячеек надежнее беглого просмотра готовой таблицы.
