№ 5*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

В условии есть неоднозначность: не уточнено, какая из двух диагоналей ромба является диагональю длиной 6 см. Кроме того, высота из B перпендикулярна AD, поэтому её угол со стороной AB равен 30° только для одного из возможных углов ромба. Рассмотрим оба допустимых положения.

Пусть сторона ромба равна a, а острый угол при A равен 60° (тогда угол между BM и AB — 30°). В прямоугольном треугольнике ABM угол A равен 120°, поэтому угол ABM равен 30°. Из соотношений в этом треугольнике получаем AM = a√3, а BM = a.

Если AC — короткая диагональ, то AC = a, значит a = 6 см и AM = 6√3 см.

Если AC — длинная диагональ, то AC = a√3, значит a = 2√3 см и AM = 6 см.

Ответ: 6√3 см, если AC — короткая диагональ; 6 см, если AC — длинная диагональ.