Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Задание 1093
Задание 1093
\[\boxed{\text{1093\ (1093).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными (буквы x, y и т.д.), для которых необходимо найти общее решение.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Координаты точки – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (x), а на втором – ордината точки (у): A (x; y).
Алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения:
1. Умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты (число перед буквой) при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами:
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x + y = 10\ \ | \bullet ( - 4)\ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{= - 40\ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
2. Сложить получившиеся уравнения почленно:
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{=}\mathbf{- 40}\mathbf{\ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{44}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
3. Подставить полученное значение в одно из уравнений и найти значение второй переменной:
\[\mathbf{x + 4 = 10}\]
\[\mathbf{x = 10 - 4}\]
\[\mathbf{x = 6}\]
4. Записать решение:
(6; 4)
Свойства уравнений с двумя переменными:
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Решение.
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y - 2 = 0\ \ | \cdot 12 \\ 5x - y = 11\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 4x + 3y - 24 = 0 \\ 5x - y = 11\ \ \ | \cdot 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 4x + 3y = 24 \\ 15x - 3y = 33 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]
\[\left\{ \begin{matrix} 19x = 57 \rightarrow x = 3 \\ y = 5x - 11\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[y = 5 \cdot 3 - 11\]
\[y = 15 - 11 = 4\]
\[Ответ:(3;4).\]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} 0,5x + 0,2y = 7\ \ | \cdot 10 \\ \frac{1}{3}x - \frac{1}{10}y = 0\ \ \ | \cdot 30 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 5x + 2y = 70\ \ | \cdot ( - 2) \\ 10x - 3y = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} - 10x - 4y = - 140 \\ 10x - 3y = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]
\[\left\{ \begin{matrix} - 7y = - 140 \rightarrow y = 20\ \ \ \ \ \\ 10x = 3 \cdot 20 \rightarrow x = \frac{60}{10} = 6 \\ \end{matrix}\ \right.\ \]
\[Ответ:(6;20).\]
\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{5}m - \frac{1}{6}n = 0\ \ | \cdot 30 \\ 5m - 4n = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 6m - 5n = 0\ \ | \cdot ( - 4) \\ 5m - 4n = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} - 24m + 20n = 0 \\ 25m - 20n = 10 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]
\[\left\{ \begin{matrix} m = 10\ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4n = 5m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} m = 10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ n = \frac{5 \cdot 10 - 2}{4} = \frac{48}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} m = 10 \\ n = 12 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:(10;12).\]
\[\textbf{г)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{6}u - \frac{1}{3}v = - 3\ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 6 \\ 0,2u + 0,1v = 3,9\ \ | \cdot 10 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} u - 2v = - 18\ \ \ \ \ \ \\ 2u + v = 39\ \ | \cdot 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} u - 2v = - 18 \\ 4u + 2v = 78 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]
\[\left\{ \begin{matrix} 5u = 60 \rightarrow u = 12 \\ v = 39 - 2u\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[v = 39 - 2 \cdot 12 = 39 - 24\]
\[v = 15\]
\[Ответ:(12;15).\]
