Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Задание 1170
Задание 1170
\[\boxed{\text{1170\ (1170).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными (буквы x, y и т.д.), для которых необходимо найти общее решение.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения:
1. Умножить (разделить) левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты (число перед буквой) при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами:
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x + y = 10\ \ | \bullet ( - 4)\ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{= - 40\ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
2. Сложить получившиеся уравнения почленно:
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{=}\mathbf{- 40}\mathbf{\ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{44}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]
\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
3. Подставить полученное значение в одно из уравнений и найти значение второй переменной:
\[\mathbf{x + 4 = 10}\]
\[\mathbf{x = 10 - 4}\]
\[\mathbf{x = 6}\]
4. Записать решение:
(6; 4)
Свойства уравнений с двумя переменными:
1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
Решение.
\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{5} = 1 - \frac{7}{15}\ \ | \cdot 15 \\ 2x - 5y = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3x = 15 - y\ \ | \cdot 5 \\ 2x = 5y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Ответ:\left( 4\frac{7}{17};1\frac{13}{17} \right).\]
\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} 3m + 5n = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1\ \ | \cdot 20 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\(\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m + 5n = 1\ \ | \cdot ( - 5) \\ 5m + 12n = 20\ \ \ | \cdot 3 \\ \end{matrix} \right.\ \)
\[Ответ:(5;\ - 8).\]
\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} 4x - 3y = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8}\ \ | \cdot 24 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x - 3y = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4 \cdot (2x + 1) = 3 \cdot (9 - 5y) \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 4x - 3y = 1\ \ \ \ \ \ | \cdot 5 \\ 8x + 4 = 27 - 15y \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 20x - 15y = 5 \\ 8x + 15y = 23 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 28x = 28 \longrightarrow x = 1 \\ 3y = 4x - 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[3y = 4 \cdot 1 - 1 = 3 \rightarrow y = 1\]
\[Ответ:(1;1).\]
\[\textbf{г)}\ \left\{ \begin{matrix} 3q = 4p - 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3}\ \ | \cdot 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3q = 4p - 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3 \cdot (1 - 3q) = 4 \cdot (4 - 2p) \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3q - 4p = - 7\ \ | \cdot 2 \\ 3 - q = 16 - 8p\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6q - 8p = - 14 \\ 8p - 9q = 13\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 3q = - 1 \longrightarrow q = \frac{1}{3} \\ 4p = 3q + 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[4p = 3 \cdot \frac{1}{3} + 7 = 8 \longrightarrow p = 2\]
\[Ответ:\left( \frac{1}{3};2 \right).\]
