ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Задание 1171

\[\boxed{\text{1171\ (1171).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными (буквы x, y и т.д.), для которых необходимо найти общее решение.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения:

1. Умножить (разделить) левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты (число перед буквой) при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x + y = 10\ \ | \bullet ( - 4)\ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{= - 40\ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

2. Сложить получившиеся уравнения почленно:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{=}\mathbf{- 40}\mathbf{\ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{44}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Подставить полученное значение в одно из уравнений и найти значение второй переменной:

\[\mathbf{x + 4 = 10}\]

\[\mathbf{x = 10 - 4}\]

\[\mathbf{x = 6}\]

4. Записать решение:

(6; 4)

При решении используем следующее:

1. Формулу квадрата суммы:

\[\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

2. Формулу квадрата разности:

\[\mathbf{\ (}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\text{ab}}\mathbf{+}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

3. Если перед скобками стоит знак «минус», то при раскрытии скобок знаки слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Свойства уравнений с двумя переменными:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Решение.

\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} (x - 1)^{2} - (x + 2)^{2} = 9y \\ (y - 3)^{2} - (y + 2)^{2} = 5x \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - 6x - 9y = 3\ \ \ \ \ \ \ \ |\ :3 \\ - 10y - 5x = - 5\ \ \text{|}\ :5 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - 2x - 3y = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - 2y - x = - 1\ \ | \cdot ( - 2) \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2x - 3y = 1 \\ 4y + 2x = 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ ( + ) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x = 1 - 2y \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x = 1 - 6 = - 5\]

\[Ответ:( - 5;3).\]

\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} (7 + u)^{2} - (5 + u)^{2} = 6v \\ (2 - v)^{2} - (6 - v)^{2} = 4u \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 4u - 6v = - 24 \\ 8v - 4u = 32\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ ( + ) \Longrightarrow\]

\[Ответ:(4;0).\]