Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
Русский
История
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 1005
Задание 1005
\[\boxed{\text{1005.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
\[x > 0,\ \ y > 0\]
\[\textbf{а)}\ \frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\]
\[\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}y^{2}} \geq \frac{y + x}{\text{xy}}\]
\[\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}y^{2}} - \frac{y + x}{\text{xy}} \geq 0\]
\[\frac{(x + y)\left( x^{2} + y^{2} - xy \right) - xy(x + y)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]
\[\frac{(x + y)\left( x^{2} + y^{2} - xy - xy \right)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]
\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - 2xy + y^{2} \right)}{x^{2}y^{2}} \geq 0\]
\[\frac{(x + y)(x - y)^{2}}{x^{2}y^{2}} \geq 0 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - y)^{2} \geq 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ при\ любых\ \text{x\ }и\ y \\ x^{2}y^{2} > 0,\ \ при\ любых\ y\ и\ \text{x\ \ \ \ \ \ \ \ } \\ x + y \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[то\ есть\ \ x + y \geq 0 \Longrightarrow x > 0,\]
\[\ \ y > 0,\ \ ч.т.д.\]
\[(знак\ строгий,\ так\ как\ на\ ноль\ делить\ нельзя).\]
\[Ответ:неравенство\ будет\ \]
\[выполняться\ при\ \]
\[x > 0\ \ и\ \ y > 0.\]
\[\textbf{б)}\ \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq x + y\]
\[\frac{x^{3} + y^{3}}{\text{xy}} - (x + y) \geq 0\]
\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} \right) - xy(x + y)}{\text{xy}} \geq 0\]
\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} - xy \right)}{\text{xy}} \geq 0\]
\[\frac{(x + y)\left( x^{2} - 2xy + y^{2} \right)}{\text{xy}} \geq 0\]
\[\frac{(x + y)(x - y)^{2}}{\text{xy}} \geq 0 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - y)^{2} \geq 0 \Longrightarrow при\ любых\ \text{x\ }и\ y. \\ x + y \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ xy > 0\ \ \ \ \ \ \Longrightarrow на\ 0\ делить\ нельзя.\ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[то\ есть\ \left\{ \begin{matrix} x + y \geq 0 \\ xy > 0\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \Longrightarrow ч.т.д.\]
\[Ответ:неравенство\ будет\ \]
\[выполнено\ при\ x > 0\ и\ y > 0.\]
