\[\boxed{\text{199.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
Пояснение.
Преобразуем правую часть равенства: приведем к общему знаменателю.
Затем приравняем числители (так как знаменатели равны).
Сгруппируем правую часть, составим систему уравнений и решим ее способом подстановки.
Решение.
\[\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a^{\backslash x + 2}}{x - 5} + \frac{b^{\backslash x - 5}}{x + 2}\]
\[\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} =\]
\[= \frac{ax + 2a + bx - 5b}{(x - 5)(x + 2)}\]
\[5x + 31 = x(a + b) + (2a - 5b)\]
\[\left\{ \begin{matrix} a + b = 5\ \ \ \ \ \ \\ 2a - 5b = 31 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} a = 5 - b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2(5 - b) - 5b = 31 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[2(5 - b) - 5b = 31\]
\[10 - 2b - 5b = 31\]
\[- 7b = 21\]
\[b = - 3;\]
\[a = 5 - b = 5 - ( - 3) = 8.\]
\[То\ есть\ тождественны\ при\ \]
\[a = 8;\ \ b = - 3.\]
\[Ответ:при\ a = 8;\ b = - 3.\]