\[\boxed{\text{208.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
Пояснение.
Представим дробь в виде суммы многочлена и дроби, выделив сначала в числителе квадрат разности. Разделим его на двучлен в знаменателе. Запишем дробь в виде суммы целого числа и дроби.
Решение.
\[\frac{5a^{2} + 6}{a^{2} + 1} = \frac{5a^{2} + 5 + 1}{a^{2} + 1} =\]
\[= \frac{5\left( a^{2} + 1 \right) + 1}{a^{2} + 1} =\]
\[= \frac{5\left( a^{2} + 1 \right)}{a^{2} + 1} + \frac{1}{a^{2} + 1} =\]
\[= 5 + \frac{1}{a^{2} + 1} \in Z,\ при\ a^{2} + 1 \in Z\]
\[То\ есть,\ a^{2} + 1 = \pm 1\]
\[a^{2} = 0\]
\[a = 0\]
\[a^{2} \neq - 2\]
\[решения\ нет\]
\[\frac{5a^{2} + 6}{a^{2} + 1} \in Z\ при\ a = 0.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]