ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 426

\[\boxed{\text{426.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

Пояснение.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит, заменить дробь тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знак корня.

Для этого нужно домножить дробь на выражение, чтобы получить множители, как в формуле разности квадратов:

\[(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}.\]

Решение.

\[\textbf{а)}\ \frac{4}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4 \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{\left( \sqrt{3} + 1 \right)\left( \sqrt{3} - 1 \right)} =\]

\[= \frac{4 \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2} =\]

\[= 2(\sqrt{3} - 1)\]

\[\textbf{б)}\ \frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \left( 1 + \sqrt{2} \right)}{\left( 1 - \sqrt{2} \right)\left( 1 + \sqrt{2} \right)} =\]

\[= \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = - \left( 1 + \sqrt{2} \right) =\]

\[= - 1 - \sqrt{2}\]

\[\textbf{в)}\ \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} =\]

\[= \frac{1 \cdot \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)}{\left( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right)\left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)} =\]

\[= \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}\]

\[\textbf{г)}\ \frac{a}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =\]

\[= \frac{a\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)} =\]

\[= \frac{a(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}\]

\[\textbf{д)}\frac{33}{7 - 3\sqrt{3}} =\]

\[= \frac{33 \cdot \left( 7 + 3\sqrt{3} \right)}{\left( 7 + 3\sqrt{3} \right)\left( 7 - 3\sqrt{3} \right)} =\]

\[= \frac{33 \cdot \left( 7 + 3\sqrt{3} \right)}{49 - 9 \cdot 3} =\]

\[= \frac{33 \cdot \left( 7 + 3\sqrt{3} \right)}{49 - 27} =\]

\[= \frac{33 \cdot (7 + 3\sqrt{3})}{22} = \frac{21 + 9\sqrt{3}}{2}\]

\[\textbf{е)}\ \frac{15}{2\sqrt{5} + 5} =\]

\[= \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{\left( 2\sqrt{5} + 5 \right)\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)} =\]

\[= \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{4 \cdot 5 - 25} = \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{20 - 25} =\]

\[= \frac{15\left( 2\sqrt{5} - 5 \right)}{- 5} =\]

\[= - 3\left( 2\sqrt{5} - 5 \right) = - 6\sqrt{5} + 15\]