\[\boxed{\text{489.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
Пояснение.
При всех допустимых значениях a верно равенство:
\[\left( \sqrt{a} \right)^{2} = a.\]
Формула квадрата суммы:
\[a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}.\]
Возведем в квадрат обе части уравнения.
Решение.
\[\textbf{а)}\ \ \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}\]
\[\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} > 0;\ \ 2 + \sqrt{2} > 0.\ \]
\[Возведем\ в\ квадрат:\]
\[\left( \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} \right)^{2} = \left( 2 + \sqrt{2} \right)^{2}\]
\[6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2\]
\[6 + 4\sqrt{2} = 6 + 4\sqrt{2}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ \sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4\]
\[\sqrt{8\sqrt{3} + 19} > 0;\ \ \sqrt{3} + 4 > 0.\]
\[Возведем\ в\ квадрат:\ \]
\[\left( \sqrt{8\sqrt{3} + 19} \right)^{2} = \left( \sqrt{3} + 4 \right)^{2}\]
\[8\sqrt{3} + 19 = 3 + 8\sqrt{3} + 16\]
\[8\sqrt{3} + 19 = 8\sqrt{3} + 19\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]