\[\boxed{\text{595.}\text{\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]
\[І\ способ.\]
\[\frac{a}{b} = \frac{8x}{15x}\]
\[По\ теореме\ Пифагора:\]
\[(8x)^{2} + (15x)^{2} = {6,8}^{2}\]
\[64x^{2} + 225x^{2} = 46,24\]
\[289x^{2} = 46,24\]
\[x^{2} = \frac{4624}{100}\ :289 = \frac{4624}{28900}\]
\[x = \sqrt{\frac{4624}{28900}} = \pm \frac{68}{170} = \pm \frac{4}{10}\]
\[x = 0,4,\ \ так\ как - 0,4 \notin N\]
\[a = 8 \cdot 0,4 = 3,2\ м\]
\[b = 15 \cdot 0,4 = 6\ м\]
\[S = \frac{\text{ab}}{2} = \frac{3,2 \cdot 6}{2} = 9,6\ \left( м^{2} \right).\]
\[ІІ\ способ.\]
\[Пусть\ 8x\ м - первый\ катет,\ \]
\[тогда\ 15x\ м - второй\ катет.\]
\[Составим\ уравнение,\]
\[\ используя\ теорему\ Пифагора:\]
\[(8x)^{2} + (15x)^{2} = {6,8}^{2}\]
\[64x^{2} + 225x^{2} = 46,24\]
\[289x^{2} = 46,24\]
\[x^{2} = \frac{46,24}{289} = \frac{4624}{28900}\]
\[x = \frac{68}{170} = 0,4\]
\[8x = 8 \cdot 0,4 = 3,2\ (м) -\]
\[первый\ катет.\]
\[15x = 15 \cdot 0,4 = 6\ (м) -\]
\[второй\ катет.\]
\[S = \frac{3,2 \cdot 6}{2} = 9,6\ м^{2}.\]
\[Ответ:9,6\ м^{2}\ \]