ГДЗ по алгебре 8 класс Макарычев ФГОС Задание 892

\[\boxed{\text{892.\ }\text{еуроки}\text{-}\text{ответы}\text{\ }\text{на}\text{\ }\text{пятёрку}}\]

\[a \geq 0,\ \ b \geq 0,\ \ c \geq 0\]

\[\textbf{а)}\ (a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc\]

\[Среднее\ арифметическое \geq\]

\[\geq среднее\ геометрическое.\]

\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{\text{ab}},\ \ \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{\text{bc}},\ \ \]

\[\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{\text{ac}}\]

\[a + b \geq 2\sqrt{\text{ab}},\ \ b + c \geq 2\sqrt{\text{bc}},\]

\[\ \ a + c \geq 2\sqrt{\text{ac}}\]

\[Перемножим\ правые\ и\ левые\ \]

\[части\ неравенств\ между\ \]

\[собой:\]

\[(a + b)(b + c)(a + c) \geq\]

\[\geq 2\sqrt{\text{ab}} \cdot 2\sqrt{\text{bc}} \cdot 2\sqrt{\text{ac}}\]

\[(a + b)(b + c)(a + c) \geq\]

\[\geq 8abc \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[\textbf{б)}\ \frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\]

\[Среднее\ арифметическое \geq\]

\[\geq среднее\ геометрическое.\]

\[\frac{a + 1}{2} = \sqrt{a \cdot 1},\ \ \]

\[\frac{b + 1}{2} = \sqrt{b \cdot 1},\ \ \]

\[\frac{a + c}{2} = \sqrt{\text{ac}},\ \ \frac{b + c}{2} = \sqrt{\text{bc}}\ \]

\[a + 1 = 2\sqrt{a},\ \ b + 1 = 2\sqrt{b},\]

\[\ \ a + c = 2\sqrt{\text{ac}},\]

\[\ \ b + c = 2\sqrt{\text{bc}}\]

\[(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \geq\]

\[\geq 2\sqrt{a} \cdot 2\sqrt{b} \cdot 2\sqrt{\text{ac}} \cdot 2\sqrt{\text{bc}}\ \]

\[\ \ |\ :16\]

\[\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq\]

\[\geq abc \Longrightarrow ч.т.д.\]

\[Использованы\ свойства:\]

\[умножение\ и\ деление\ \]

\[неравенства\ на\]

\[положительное\ число\ и\ \]

\[умножение\ неравенств.\]