\[\boxed{\text{345.}\text{\ }\text{ОК\ ГДЗ\ -\ домашка\ на\ 5}}\]
\[x^{4} - 13x^{2} + k = 0\]
\[Пусть\ t = x^{2};\ \ t^{2} = x^{4}.\]
\[\textbf{а)}\ Для\ того,\ чтобы\ исходное\ \]
\[уравнение\ имело\ 4\ корня,\ \]
\[необходимо,\]
\[чтобы\ уравнение\ \ t^{2} - 13t +\]
\[+ k = 0\ имело\ \]
\[неотрицательные\ корни.\]
\[D = 169 - 4k \geq 0\ \ \]
\[4k \leq 169\ \ \]
\[k \leq \frac{169}{4}\]
\[t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{D}}{2};\text{\ \ }\]
\[t_{1} = \frac{13 + \sqrt{D}}{2} > 0;\ \]
\[\ t_{2} = \frac{13 - \sqrt{D}}{2} > 0.\]
\[\sqrt{D} > 13:\ \ \]
\[\sqrt{169 - 4k} < 13\]
\[169 - 4k - 169 < 0\]
\[4k > 0\ \ \]
\[k > 0.\]
\[0 < k < \frac{169}{4}\]
\[0 < k < 42,25.\]
\[\textbf{б)}\ D > 0;\ \ \ t_{1} > 0;\ \ \ t_{2} < 0;\ \ \]
\[или\ \ D = 0.\]
\[Исходное\ уравнение\ имеет\ два\ \]
\[корня,\ если\ дискриминант\ \]
\[полученного\]
\[после\ замены\ квадратного\ \]
\[уравнения\ положителен:\]
\[при\ этом\ один\]
\[корень\ положителен,\ \]
\[а\ другой\ отрицателен.\]
\[Или\ если\ дискриминант\ \]
\[полученного\ квадратного\ \]
\[уравнения\ равен\ 0.\]
\[1)\ 13 - \sqrt{D} < 0\ \ \]
\[13 - \sqrt{169 - 4k} < 0\]
\[13 < \sqrt{169 - 4k}\]
\[169 < 169 - 4k\ \ \]
\[k < 0.\]
\[2)\ D = 0:\]
\[169 - 4k = 0\]
\[4k = 169\]
\[k = 42,25.\]
\[Ответ:\ \ а)\ 0 < k < 42,25;\ \ \]
\[\textbf{б)}\ \ k < 0\ \ и\ k = 42,25.\]