\[\boxed{\mathbf{369.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]
\[\mathbf{центром\ окружности,\ }\]
\[\mathbf{описанной\ около\ }\]
\[\mathbf{прямоугольного}\mathbf{\ }\mathbf{треугольника,\ }\]
\[\mathbf{является\ середина\ гипотенузы}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ дан\ прямоугольный\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC\ с\ прямым\ углом\ C.\]
\[2)\ Отметим\ точку\ O -\]
\[середину\ отрезка\ AB.\]
\[3)\ Проведем\ окружность\ \]
\[с\ центром\ в\ точке\ O\ и\ \]
\[радиусом\ \text{OA.}\]
\[4)\ Так\ как\ BO = OA,\ то\ точка\ \text{B\ }\]
\[также\ принадлежит\ этой\ \]
\[окружности.\]
\[5)\ \angle ACB = 90{^\circ}\ \ и\ \ \angle AOB = 180{^\circ}:\]
\[\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB.\]
\[Значит,\ угол\ ACB\ является\ \]
\[вписанным\ в\ окружность\ \]
\[и\ опирается\ на\ ее\ диаметр\ \text{AB.}\]
\[6)\ Таким\ образом,\ все\ вершины\ \]
\[треугольника\ ABC\ лежат\ \]
\[на\ окружности.\]
\[Значит,\ точка\ O\ является\ \]
\[центром\ описанной\ около\ него\ \]
\[окружности.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]