ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 423

\[\boxed{\mathbf{423.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]

\[\angle 1 = \angle 2;\]

\[\angle 5 = \angle 4;\]

\[\angle A = \alpha;\]

\[BO \cap CO = O.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[\angle BOC - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ Пусть\ \angle 1 + \angle 2 = \beta;\ \ \ \ \]

\[\angle 5 + \angle 4 = \gamma.\]

\[2)\ В\ треугольнике\ ABC:\]

\[\angle A + \angle B + \angle C = 180{^\circ}\ \]

\[(по\ теореме\ о\ сумме\ углов).\]

\[3)\ По\ свойству\ смежных\ углов:\ \]

\[\angle B = 180{^\circ} - \beta\ и\ \]

\[\angle C = 180{^\circ} - \gamma.\]

\[4)\ \angle A + 180{^\circ} - \beta + 180{^\circ} - \gamma =\]

\[= 180{^\circ}:\]

\[\angle A =\]

\[= 180{^\circ} - 180{^\circ} + \beta - 180{^\circ} + \gamma =\]

\[= \beta + \gamma - 180{^\circ};\]

\[\alpha = \beta - 180{^\circ} + \gamma \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \alpha + 180{^\circ} = \beta + \gamma.\]

\[5)\ \angle 1 + \angle 2 = \frac{\beta}{2}\ \]

\[(BO - биссектриса);\]

\[\angle 5 + \angle 4 = \frac{\gamma}{2}\ \]

\[(OC - биссектриса).\]

\[6)\ \angle 1 = \angle 3\ \]

\[(как\ вертикальные) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \angle 3 = \frac{\beta}{2};\]

\[\angle 5 = \angle 6\ \]

\[(как\ вертикальные) \Longrightarrow \ \angle 6 = \frac{\gamma}{2}.\]

\[7)\ По\ теореме\ о\ сумме\ углов\ \]

\[в\ треугольнике:\]

\[\angle 6 + \angle 3 + \angle BOC = 180{^\circ}.\]

\[8)\ \angle BOC = 180{^\circ} - \angle 6 - \angle 3 =\]

\[= 180{^\circ} - \frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2} =\]

\[= 180{^\circ} - \frac{1}{2}(\beta + \gamma) =\]

\[= 180{^\circ} - \frac{1}{2}(\alpha + 180{^\circ}) =\]

\[= 180{^\circ} - \frac{1}{2}\alpha - 90{^\circ} =\]

\[= 90{^\circ} - \frac{1}{2}\text{α.}\]

\[\mathbf{Ответ:\ }\angle BOC = 90{^\circ} - \frac{1}{2}\text{α.}\]