\[\boxed{\mathbf{454.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Построить:\ \ }\]
\[\mathbf{общую\ касательную\ к\ двум\ }\]
\[\mathbf{окружностям}\mathbf{.}\]
\[\mathbf{Построение.}\]
\[1)\ Пусть\ даны\ окружности\ с\ \]
\[центрами\ в\ точках\ \text{O\ }и\ O_{1}.\]
\[2)\ На\ окружности\ с\ центром\ в\ \]
\[точке\ \text{O\ }проведем\ диаметр\ RR_{1}.\]
\[3)\ На\ окружности\ с\ центром\ в\ \]
\[точке\ O_{1}\ проведем\ радиус\ O_{1}R_{2}.\]
\[4)\ Из\ точки\ R_{2}\ проведем\ \]
\[окружность\ радиуса\ OR,\ \]
\[отметим\ точку\ R_{3}\ на\ пересечении\ \]
\[этой\ окружности\ и\ отрезка\ O_{1}R_{2}.\]
\[5)\ Построим\ диаметр\ D_{1}D_{2}\ \]
\[окружности\ с\ центром\ в\ точке\ O_{1}\ \]
\[и\ радиусом\ O_{1}R_{3}.\]
\[6)\ Из\ точки\ \text{O\ }проведем\ \]
\[окружность\ радиуса\ OO_{1},\ а\ из\ \]
\[точки\ O_{1}\ проведем\ окружность\]
\[радиуса\ D_{1}D_{2},\ на\ пересечении\ \ \]
\[этих\ окружностей\ отметим\ \]
\[точку\ B_{1}.\]
\[7)\ На\ пересечении\ прямой\ O_{1}B_{1}\ \]
\[и\ первой\ окружности\ с\ центром\ \]
\[O_{1}\ отметим\ точку\ A_{1}.\]
\[8)\ Постром\ касательную\ к\ \]
\[окружности\ с\ центром\ в\ точке\ \text{O\ \ }\]
\[и\ радиусом\ OR,\ для\ чего\ из\]
\[точки\ \text{A\ }проведем\ окружность\ \]
\[радиуса\ \text{AO},\ а\ из\ точки\ O\ \]
\[проведем\ окружность\ радиуса\ \]
\[RR_{1},\ на\ пересечении\ этих\ \ \]
\[окружностей\ отметим\ точку\ B_{2}.\]
\[На\ пересечении\ отрезка\ \text{OB\ }и\ \]
\[первой\ окружности\ с\ центром\ \text{O\ }\]
\[отметим\ точку\ A_{2}\text{.\ }\]
\[9)\ Прямая\ AA_{1} - искомая.\]
\[При\ таком\ расположении\ \]
\[окружности\ имеют\ 4\ общих\]
\[касательных.\]
\[Если\ одна\ окружность\ лежит\]
\[внутри\ другой,\ то\ общих\]
\[касательных\ у\ них\ нет. \]