ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 489

\(\boxed{\mathbf{489}\mathbf{.}\mathbf{еуроки}\mathbf{-}\mathbf{ответы}\mathbf{\ }\mathbf{на}\mathbf{\ }\mathbf{пятёрку}}\)

\[1)\mathbf{\ Дано:}\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[F - середина\ AB;\]

\[G - середина\ \text{CD.}\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[FG \parallel AD.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Построим\ через\ точку\ \text{F\ }\]

\[прямую,\ которая\ параллельна\ \]

\[\text{BC\ }и\ AD:\ \ \ \]

\[FG \cap CD = G;\]

\[CG = GD\ (по\ теореме\ Фалеса).\]

\[2)\ FG - средняя\ линия\ \]

\[трапеции:\]

\[FG \parallel AD.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]

\[2)\ Дано:\]

\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]

\[\mathbf{средняя\ линия\ трапеции\ равна\ }\]

\[\mathbf{полусумме\ оснований}\mathbf{.}\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ ABCD - данная\ \]

\[трапеция\ с\ основаниями\ \]

\[\text{AB\ }и\ \text{CD.}\]

\[2)\ Проведем\ через\ вершину\ \text{B\ }\]

\[и\ середину\ \text{P\ }боковой\ стороны\ \]

\[\text{CD\ }прямую,она\ пересечет\ \]

\[прямую\ AD\ в\ некоторой\ \]

\[точке\ \text{E.}\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}PBC = \mathrm{\Delta}PED - по\ второму\ \]

\[признаку:\]

\[CP = DP\ (по\ построению);\ \ \]

\[\angle CPB = \angle DPE\ \]

\[(как\ вертикальные);\]

\[\angle PCB = \angle PDE\ (как\ внутренние\ \]

\[накрест\ лежащие\ при\ \]

\[параллельных\ прямых\ BC\ и\ \text{AD\ }\]

\[и\ секущей\ CD).\]

\[Отсюда:\ \]

\[PB = PE\ и\ BC = DE.\]

\[4)\ Значит,\ средняя\ линия\ \text{PQ\ }\]

\[данной\ трапеции\ является\ \]

\[средней\ линией\]

\[треугольника\ ABE;\ \ \ \]

\[PQ = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}(AD + DE) =\]

\[= \frac{1}{2}(AD + BC).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]