ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 524

\[\boxed{\mathbf{524.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - параллелограмм;\]

\[AB \neq AD;\]

\[BB_{1};AA_{1};CC_{1};\]

\[DD_{1} - биссектрисы.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[NMPS - прямоугольник.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ ABCD - параллелограмм:\]

\[\angle A = \angle C;\ \]

\[\angle B = \angle D.\]

\[2)\ BC \parallel AD\ и\ секущие\ \text{BA\ }и\ CD:\]

\[\angle A + \angle B = 180{^\circ}\ \]

\[(как\ односторонние);\ \]

\[\angle C + \angle D = 180{^\circ}\ \]

\[(как\ односторонние).\]

\[3)\ \angle ABN + \angle BAN =\]

\[= \frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}(\angle B + \angle A) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet 180{^\circ} = 90{^\circ}.\]

\[4)\ \angle PDC + \angle DCP =\]

\[= \frac{1}{2}\angle D + \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2}(\angle D + \angle C) =\]

\[= \frac{1}{2} \bullet 180{^\circ} = 90{^\circ}.\]

\[5)\ По\ сумме\ углов\ \]

\[треугольника:\]

\[\angle ABN + \angle BAN + \angle BNA = 180{^\circ};\ \]

\[\angle BNA = 90{^\circ};значит,\]

\[⊿BNA - прямоугольный.\]

\[По\ сумме\ углов\ треугольника:\]

\[\angle PDC + \angle DCP + \angle CPD = 180{^\circ};\ \]

\[\angle CPD = 90{^\circ};значит,\]

\[⊿CPD - прямоугольный.\]

\[6)\ \angle MNS = \angle BNA = 90{^\circ};\ \]

\[\angle MPS = \angle CPD = 90{^\circ}\ \]

\[(как\ вертикальные\ углы).\]

\[7)\ \angle CBB_{1} = \angle BB_{1}\text{A\ }\]

\[(как\ накрестлежащие);\]

\[\angle BB_{1}A = \angle DDA\ \]

\[(как\ соответственные);\]

\[значит:\]

\[DD_{1} \parallel BB_{1}.\]

\[8)\ \angle BAA_{1} = \angle DAA_{1}\]

\[(как\ накрестлежащие);\]

\[\angle AA_{1}B = \angle BCC_{1}\ \]

\[(как\ соответственные);\ \]

\[значит:\]

\[AA_{1} \parallel CC_{1}.\]

\[9)\ NMPS - параллелограмм\ \]

\[(по\ определению);\]

\[\angle N = \angle P = 90{^\circ};\ \]

\[следовательно:\ \]

\[NMPS - прямоугольник.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]