\[\boxed{\mathbf{536.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\text{BCDE\ }и\ \ BNMA - квадраты;\]
\[BO - медиана\ \mathrm{\Delta}\text{ABC.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[NE = 2BO.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ OD = OB;\ \]
\[AO = OC;\ (BO - медиана):\]
\[ABCD - параллелограмм\ \]
\[(по\ признаку\ параллелограмма).\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}AOD = \mathrm{\Delta}BOC - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\angle BOC = \angle AOD\ \]
\[(как\ вертикальные);\]
\[BO = OD\ (см.\ пункт\ 1);\]
\[AO = OC\ (см.\ пункт\ 1).\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}EBN = \mathrm{\Delta}BAD - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[\angle B = \angle A = 90{^\circ}\ \]
\[\left( \text{BCFE} - квадрат \right);\]
\[EB = BC\ \left( \text{BCFE} - квадрат \right);\]
\[\ \text{NB} = BA\ \left( \text{BNMA} - квадрат \right).\]
\[4)\ BD = 2BO;\ \ \ \]
\[NE = 2BO.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]