\[\boxed{\mathbf{613}\mathbf{.}\mathbf{еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]
\[AB = BC;\]
\[MN\bot BC;FE\bot BC;\]
\[MK\bot AB;FQ\bot AB.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[NM + MK = QF + EF.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \]
\[\left. \ \frac{S_{\text{ABC}} = S_{\text{ABM}} + S_{\text{MBC}}}{S_{\text{ABC}} = S_{\text{FBC}} + S_{\text{ABF}}} \right| \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow S_{\text{ABM}} + S_{\text{MBC}} = S_{\text{FBC}} + S_{\text{ABF}}.\]
\[2)\ \frac{1}{2} \bullet AB \bullet MK + \frac{1}{2}BC \bullet MN =\]
\[= \frac{1}{2}BC \bullet FE + \frac{1}{2}AB \bullet FQ;\]
\[AB = BC\ (по\ условию);\]
\[\frac{1}{2}\text{AB}(MK + MN) =\]
\[= \frac{1}{2}\text{AB}(FE + FQ);\]
\[MK + MN = EF + FQ.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]