\[\boxed{\mathbf{806.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[BC,AD - касательные;\]
\[FK - средняя\ линия.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[O \in FK.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ BC - касательная \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow OE\bot BC;\]
\[AD - касательная \Longrightarrow ON\bot AD.\]
\[EN\bot\text{BC\ }и\ AD;\]
\[O \in EN\ (так\ как\ EN\ диаметр).\]
\[FK \parallel BC \parallel AD\ и\ FK \cap EN = O.\]
\[4)\ FK \parallel BC \parallel AD\ и\ BF = FA \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow EO =\]
\[= \text{ON\ }(по\ теореме\ Фалеса):\]
\[O \in FK.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]