\[\boxed{\mathbf{819.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[M;N;P;Q - точки\ касания\ \]
\[окружности\ со\ сторонами.\]
\[Доказать:\]
\[\angle AOD + \angle BOC =\]
\[= \angle AOB + \angle COD.\]
\[Доказательство.\]
\[Центр\ окружности,\ вписанной\ \]
\[в\ четырехугольник - это\ \]
\[точка\ пересечения\ биссектрис\ \]
\[внутренних\ углов\ этого\ \]
\[треугольника.\]
\[Пусть\ \angle MON = 2\alpha;\ \ \]
\[\angle NOP = 2\beta;\ \angle POQ = 2\gamma;\ \]
\[\angle QOM = 2\varphi.\]
\[Тогда:\]
\[\angle AOB = \alpha + \varphi;\]
\[\angle COD = \beta + \gamma;\]
\[\angle AOB + \angle COD =\]
\[= \alpha + \beta + \gamma + \varphi = \frac{1}{2} \cdot 360{^\circ} =\]
\[= 180{^\circ}.\]
\[Аналогично\ получаем:\]
\[\angle AOD + \angle BOC = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\]
\[\angle AOD + \angle BOC =\]
\[= \angle AOB + \angle COD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]