\[\boxed{\mathbf{820.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ ABCD - данный\ \]
\[четырехугольник.\]
\[K;L;M;N - точки\ касания\ его\ \]
\[сторон\ AB;BC;CD;AD\ \]
\[с\ вписанной\ окружностью.\]
\[T - точка\ пересечения\ \]
\[отрезков\ \text{KM\ }и\ NL;\]
\[O - центр\ вписанной\ \]
\[окружности\ \text{ABCD.}\]
\[Пусть\ \angle ADC = \alpha:\]
\[\angle MON = 180{^\circ} - \alpha = \angle ABC;\]
\[\angle KOL = 180{^\circ} - \angle ABC =\]
\[= 180{^\circ} - \alpha.\]
\[Тогда:\]
\[\angle MNT = \frac{\cup MN + \cup KL}{2} =\]
\[= \frac{\angle MON + \angle KOL}{2} = \frac{180}{2} = 90{^\circ}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]