ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 829

\[\boxed{\mathbf{829.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AB = BC;\ \]

\[AD - биссектриса;\]

\[DE\bot AD;E \in AC;\]

\[\text{DK}\bot AC;K \in AC;\]

\[\text{BM}\bot AC;M \in AC;\]

\[AE = a.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[MK - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ На\ стороне\ треугольника\ \]

\[\text{AB\ }отметим\ точку\ \]

\[F = DE \cap AB.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}FAE - равнобедренный:\]

\[AD - высота\ и\ биссектриса;\]

\[AF = AE = a;\ \]

\[AD - медиана.\]

\[Следовательно:\]

\[FD = DE = \frac{1}{2}\text{FE.}\]

\[3)\ Проведем\ прямую\ \text{GD},\ \]

\[параллельную\ стороне\ \]

\[\text{AC\ }треугольника:\]

\[G = GD \cap AB.\]

\[4)\ GD \parallel AC \Longrightarrow \ \mathrm{\Delta}FGD\sim\mathrm{\Delta}FAE:\]

\[\frac{\text{CD}}{\text{AE}} = \frac{\text{FD}}{\text{FE}} = \frac{1}{2};\ \]

\[GD = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}\text{a.}\]

\[5)\ GD \parallel AC \Longrightarrow \ \mathrm{\Delta}GBD\sim\mathrm{\Delta}ABC;\ \]

\[AB = BC:\]

\[GB = GD.\ \]

\[Следовательно:\]

\[\mathrm{\Delta}GBD - равнобедренный,\ \]

\[основание - \text{GD.}\]

\[6)\ Отметим\ точку\ \]

\[пересечения\ H = GD \cap BM:\]

\[\text{BM}\bot AC;\ \ GD \parallel \ AC \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \text{BH}\bot GD.\]

\[Отсюда:\]

\[BH - высота\ и\ медиана\ \mathrm{\Delta}GBD,\ \]

\[так\ как\ GB = GD.\]

\[GH = HD = \frac{1}{2}GD = \frac{1}{2}\text{a.}\]

\[7)\ Многоугольник\ MHDK -\]

\[параллелограмм:\]

\[\text{BM}\bot AC;\ \ DK\bot AC \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow \ HM \parallel DK;\]

\[CD \parallel AC \Longrightarrow \ HD \parallel MK.\]

\[Отсюда:\]

\[MK = HD = \frac{1}{4}\text{a.}\]

\[Ответ:MK = \frac{1}{4}\text{a.}\]