\[\boxed{\mathbf{832.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[a - прямая;\]
\[C \in a.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[множество\ середин\ всех\ \]
\[отрезков,\ соединяющих\ \text{C\ }\]
\[со\ всеми\ точками\ прямой\ a.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Начертим\ из\ ( \bullet )\text{C\ }\]
\[перпендикуляр\ к\ прямой\ \text{a\ }\]
\[так,\ чтобы\ \ ( \bullet )\text{\ A\ }\]
\[принадлежала\ a.\]
\[2)\ Серединой\ отрезка\ \text{AC\ }\]
\[будет\ ( \bullet )A_{1}:\]
\[AA_{1} = A_{1}C = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[3)\ Через\ точку\ A_{1}\ проведем\ \]
\[прямую\ b,\ параллельную\ \]
\[прямой\ \text{a.}\]
\[4)\ На\ прямой\ \text{a\ }отметим\ \]
\[произвольную\ ( \bullet )\text{X.}\]
\[Надо\ доказать,\ что\ X_{1} \in b -\]
\[середина\ отрезка\ \text{CX.}\]
\[5)\ A_{1}X_{1} - средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}ACX\ \]
\[(по\ построению):\ \]
\[\ A_{1}X_{1} \parallel AX \Longrightarrow \ A_{1}X_{1} \parallel a.\]
\[6)\ Известно,\ что\ через\ точку,\]
\[\ не\ лежащую\ на\ прямой,\ можно\ \]
\[провести\ только\ одну\ прямую,\]
\[\ параллельную\ данной.\ \]
\[Следовательно:\]
\[A_{1}X_{1} \subset b;\ \ \ X_{1} \in b.\]
\[Ответ:множеством\ середин\ \]
\[всех\ отрезков\ является\ \]
\[прямая,\ параллельная\ прямой\ \]
\[\text{a\ }и\ лежащая\ между\ точкой\ и\ \]
\[этой\ прямой\ на\ половине\ \]
\[расстояния\ между\ ними.\]