ГДЗ по геометрии 7 класс Атанасян ФГОС Задание 862

\[\boxed{\mathbf{862.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - остроугольный;\]

\[AA_{1};BB_{1};CC_{1} - высоты;\]

\[A_{2} = AA_{1} \cap B_{1}C_{1};\]

\[B_{2} = BB_{1} \cap A_{1}C_{1};\]

\[C_{2} = CC_{1} \cap A_{1}B_{1}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[A_{1}A_{2};B_{1}B_{2};C_{1}C_{2} -\]

\[биссектрисы;\]

\[\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пересечение\ всех\ высот\ \]

\(треугольника\text{\ ABC}\) \(обозначим\ \)

\[( \bullet )\text{M.}\ \]

\[2)\ S = \frac{1}{2}BC \bullet AA_{1} = \frac{1}{2}AC \bullet BB_{1}.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}BCB_{1}\sim\mathrm{\Delta}ACA_{1} -\]

\[по\ третьему\ признаку\ подобия\ \]

\[треугольников:\ \]

\[BC \bullet AA_{1} = AC \bullet BB_{1};\ \]

\[\frac{\text{BC}}{BB_{1}} = \frac{\text{AC}}{AA_{1}};\]

\[\angle C - общий.\]

\[4)\ \mathrm{\Delta}CA_{1}B_{1}\sim\mathrm{\Delta}CAB -\]

\[по\ третьему\ признаку\ подобия\ \]

\[треугольников:\ \]

\[\frac{CB_{1}}{CA_{1}} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = k;\ \]

\[\frac{CB_{1}}{\text{BC}} = \frac{CA_{1}}{\text{AC}} = k;\ \ \]

\[\angle C - общий.\]

\[Следовательно:\ \]

\[\angle B_{1}A_{1}C = \angle A;\ \ \angle MA_{1}C_{2} =\]

\[= 90{^\circ} - \angle A.\]

\[\angle BA_{1}C_{1} = \angle A;\ \ \]

\[\angle MA_{1}B_{2} = 90{^\circ} - \angle A.\]

\[5)\ Отсюда:\]

\[\angle MA_{1}C_{2} = \angle MA_{1}B_{2} = 90{^\circ} - \angle A;\ \ \]

\[A_{1}A_{2} - биссектриса\ \angle A_{1}.\]

\[6)\ Аналогично\ доказывается,\ \]

\[что\ что\ B_{1}B_{2}\ \ и\ C_{1}C_{2}\ \]

\[биссектрисы.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]