\[\boxed{\mathbf{870.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[есть\ MNPQ - выпуклый\ \]
\[четырехугольник,\]
\[A;B;C;D - середины\ его\ \]
\[сторон.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ точку\ M - вне\ \]
\[параллелограмма\ \text{ABCD\ }\ \]
\[и\ не\ лежащую\ на\ прямых,\ \]
\[содержащих\ его\ стороны.\ \]
\[Получаем:\]
\[точка\ N - симметрична\ M\ \]
\[относительно\ ( \bullet )A;\]
\[точка\ P - симметрична\ \text{N\ }\]
\[относительное\ ( \bullet )B;\]
\[точка\ Q - симметрична\ \text{P\ }\]
\[относительно\ ( \bullet )\text{C.}\]
\[2)\ Надо\ доказать,\ что\ \]
\[D \in MQ;\ \ MD = DQ\ или\ \]
\[что\ ( \bullet )\text{M\ }симметрична\ ( \bullet )\text{Q\ }\]
\[относительно\ ( \bullet )\text{D.}\]
\[Достроим\ чертеж:проведем\ \]
\[диагональ\ \text{QN.}\]
\[3)\ Рассмотрим\ треугольник\ \]
\[QPN:\]
\[\text{BC\ }(сторона\ параллелограмма) -\]
\[средняя\ линия;\]
\[BC \parallel NQ.\ \]
\[Следовательно,\]
\[в\ треугольнике\ QMN:\]
\[AD \parallel BC \parallel NQ;\ \ \ \]
\[MA = AN.\]
\[4)\ Получаем:\]
\[AD - средняя\ линия\ \]
\[треугольника\ QMN;\]
\[MD = DQ.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]