\[\boxed{\mathbf{871.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[AD \nparallel BC;AD > BC;\]
\[AB \nparallel CD;AB < CD;\]
\[M \in AB;AM = MB;\]
\[N \in CD;N = ND.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MN < \frac{AD + BC}{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Относительно\ точки\ N\ \]
\[(как\ центра\ симметрии)\ \]
\[отобразим\ точку\ \text{A\ }и\ \]
\[получим\ A_{1}.\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABA_{1}:\]
\[AM = MB;\ \ \]
\[AN = NA_{1};\ \ \]
\[тогда\ MN - средняя\ линия\ \]
\[этого\ треугольника;\]
\[A_{1}B = 2MN.\]
\[3)\ В\ треугольниках\ \text{ADN\ }и\ \]
\[A_{1}CN:\]
\[AN = NA_{1};\ \ \]
\[DN = NC;\]
\[\angle AND =\]
\[= \angle A_{1}NC\ (вертикальные\ углы).\]
\[По\ первому\ признаку\ \]
\[равенства\ треугольников:\ \]
\[\ \mathrm{\Delta}ADN = \mathrm{\Delta}A_{1}CN \Longrightarrow A_{1}C = AD.\]
\[4)\ Из\ треугольника\ \text{CB}A_{1},\]
\[\ по\ неравенству\ треугольника:\ \]
\[A_{1}B( = 2MN) <\]
\[< BC + A_{1}C( = AD)\]
\[2MN < AD + BC\ \]
\[MN < \frac{AD + BC}{2}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]