\(\boxed{\mathbf{877.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\)
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[D,\ E,\ F - середины\ высот\ \]
\[и\ лежат\ на\ одной\ прямой.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[⊿ABC - прямоугольный.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Докажем\ обратное\ \]
\[утверждение:\ только\ \]
\[в\ прямоугольном\ \ \]
\[треугольнике\ середины\ высот\ \]
\[лежат\ на\ одной\ прямой.\]
\[Треугольник\ \text{ABC} -\]
\[прямоугольный;\ \ \angle C = \ 90{^\circ}.\]
\[Докажем,\ что\ середины\ его\ \]
\[высот\ лежат\ на\ одной\ прямой.\ \]
\[Катеты\ прямоугольного\ \]
\[треугольника\ являются\ двумя\ \]
\[его\ \ высотами,\ отметим\ их\ \]
\[середины:\ \]
\[\text{AD}\ = \ \text{DC},\ \text{CE} = \ \text{EB.}\ \]
\[2)\ Проведем\ третью\ высоту\ к\ \]
\[гипотенузе\ CH\bot AB\ и\ \]
\[отметим\ \ её\ середину\ \]
\[\text{CF}\ = \ \text{FH}.\]
\[3)\ По\ построению\ DE - \ \]
\[средняя\ линия\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}\]
\[геометрическое\ место\ середин\ \]
\[всех\ отрезков,\ соединяющих\]
\[вершину\ \text{C\ }с\ любой\ точкой\ на\ \]
\[гипотенузе\ AB \Longrightarrow \ F \in DE.\]
\[4)\ Рассмотрим\ \]
\[не\ прямоугольный\ \]
\[треугольник\ ABC.\]
\[Середины\ его\ высот\ \]
\[принадлежат\ трем\ различным\ \]
\[средним\ линиям.\ \]
\[По\ доказанному\ в\ задаче\ 863,\ \]
\[они\ \ не\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[Таким\ образом,\ только\ \]
\[в\ прямоугольном\ \]
\[треугольнике\ середины\ \]
\[высот\ лежат\ на\ одной\ прямой.\ \]
\[5)\ Перейдем\ к\ доказательству\ \]
\[прямого\ утверждения.\ \]
\[Дано:\ середины\ высот\ лежат\ \]
\[на\ одной\ прямой.\]
\[Допустим,\ что\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}\ \]
\[не\ прямоугольный,\ тогда,\ как\ \]
\[было\ показано\ выше,\ \]
\[середины\ высот\ не\ лежат\ \]
\[на\ одной\ прямой.\ \]
\[Но\ это\ противоречит\ условию.\]
\[Значит,\ наше\ допущение\ \]
\[неверно:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC\ - \ прямоугольный.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]