\[\boxed{\mathbf{891.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ точки\ A_{1};B_{1};C_{1}\ \]
\[принадлежат\ одной\ прямой\ \text{a.}\]
\[Опустим\ из\ вершин\ \]
\[треугольника\ ABC\ \]
\[перпендикуляры\ AA^{'};BB^{'};CC^{'}\]
\[на\ эту\ прямую.\]
\[⊿AC_{1}A'\ подобен\ ⊿BC_{1}B':\]
\[\frac{AC_{1}}{C_{1}B} = \frac{AA'}{BB'}.\]
\[Аналогичным\ образом\ \]
\[доказывается,\ что\]
\[\frac{BA_{1}}{A_{1}C} = \frac{BB^{'}}{CC^{'}};\ \ \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = \frac{CC^{'}}{AA^{'}}.\]
\[Перемножив\ равенства,\]
\[\ получим:\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]