\[\boxed{\mathbf{892.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[⊿ABC;\]
\[A_{1}B_{1}C_{1} - на\ прямых\ \]
\[BC;AC;BA;\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[Доказать:\]
\[A_{1};B_{1}C_{1} - лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[Доказательство.\]
\[Проведем\ прямую\ A_{1}C_{1};\]
\[B_{2} - точка\ ее\ пересечения\ \]
\[с\ прямой\ \text{AC.}\]
\[По\ теореме\ Менелая:\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[Тогда:\]
\[\frac{CB_{1}}{B_{1}A} = \frac{CB_{2}}{B_{2}A}.\]
\[Пусть\ CB_{1} = x;\ \ CB_{2} = y;\]
\[AC = b.\]
\[Получаем:\]
\[\frac{x}{b + x} = \frac{y}{b + y}\]
\[x(b + y) = y(b + x)\]
\[x(x - y) = 0\ \ \ \ \ \ \ \ |\ :b\]
\[x = y.\]
\[Из\ аксиомы\ об\ откладывании\ \]
\[отрезка\ следует,\ что\ B_{1}\ \]
\[совпадает\ с\ B_{2}.\]
\[Значит,\ все\ точки\ находятся\ \]
\[на\ одной\ прямой.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]