ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1014

\[\boxed{\mathbf{1014.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\]

\[\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - коллинеарны.\]

\[Доказать:\]

\[координаты\ \]

\[пропорциональны.\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ \overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\ и\ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}:\]

\[\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} -\]

\[коллинеарны\ (по\ условию).\]

\[По\ лемме\ о\ коллинеарных\ \]

\[векторах \Longrightarrow \overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}:\ \]

\[\frac{x_{1} = kx_{2}}{y_{1} = ky_{2}} \Longrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = k;\ \]

\[\frac{y_{1}}{y_{2}} = k \Longrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = k.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[Обратное\ утверждение:\]

\[если\ координаты\ одного\ вектора\ пропорциональны\ координатам\ \]

\[\ другого,\ то\ эти\ векторы\ коллинеарны.\]

\[Доказательство.\ \]

\[Пусть\ \overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}\ и\ \overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}.\]

\[Координаты\ \]

\[пропорциональны\ по\ \]

\[условию:\]

\[\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = k \Longrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = k;\]

\[\frac{y_{1}}{y_{2}} = k \Longrightarrow \frac{x_{1} = x_{2} \bullet k}{y_{1} = y_{2} \bullet k};\]

\[Значит:\ \]

\[\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b} - коллинеарны.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]