ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 309

\[\boxed{\mathbf{309.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[AH\bot a;\]

\[HM_{1} = HM_{2}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AM_{1} = AM_{2}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}M_{1}\text{AH\ }и\ \mathrm{\Delta}M_{2}AH - прямоугольные:\]

\[AH - общий\ катет;\ \]

\[\angle\text{AH}M_{1} = \angle AHM_{2} = 90{^\circ}\ (так\ как\ AH\bot a);\]

\[\text{\ H}M_{1} = HM_{2}\ (по\ условию).\]

\[\mathrm{\Delta}M_{1}AH = \mathrm{\Delta}M_{2}\text{AH\ }(по\ двум\ катетам).\]

\[По\ свойству\ равных\ треугольников:\]

\[AM_{2} = AM_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[AH\bot a;\]

\[HM_{1} < HM_{2}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AM_{1} < AM_{2}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}AHM_{1}:\]

\[\angle AM_{1}H - острый\ (так\ как\ AH\bot a).\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}AHM_{2}:\]

\[\angle AM_{2}H - острый\ (так\ как\ AH\bot a).\]

\[3)\ По\ свойству\ смежных\ углов:\]

\[\angle AM_{1}M_{2} = 180{^\circ} - \angle AM_{1}\text{H.}\]

\[Отсюда:\]

\[\angle AM_{1}M_{2} - тупой.\]

\[4)\ Следовательно:\ \]

\[AM_{1}\ лежит\ против\ острого\ угла\ \angle AM_{2}M_{1};\]

\[AM_{2}\ лежит\ против\ тупого\ угла\ \angle AM_{1}M_{2}.\]

\[Значит:\ \]

\[AM_{1} < AM_{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]