\[\boxed{\mathbf{342.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\]
\[окружность\ (O;R);\]
\[\text{AB};\text{CD} - хорды;\]
\[OF\bot AB;\ \ OK\bot CD;\]
\[OF = OK = R.\]
\[Доказать:\]
\[AB = CD.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Соединим\ центр\ окружности\ \]
\[с\ концами\ хорд,\ получим\ \]
\[треугольники\ \text{COD\ }и\ \text{AOB}.\]
\[2)\ ⊿OKD = ⊿OFB -\]
\[прямоугольные,\ по\ катету\ \]
\[и\ гипотенузе:\]
\[OF = OK - по\ условию;\]
\[OD = OB = R.\]
\[Отсюда:\]
\[KD = FB.\]
\[3)\ ⊿AOB;\ \]
\[⊿COD - равнобедренные:\]
\[OA = OB = OC = OD = R.\]
\[AB;CD - основания;\]
\[OK;OF - высоты,\ медианы\ \]
\[и\ биссектрисы.\]
\[Отсюда:\]
\[AF = BF;\ \ CK = DK.\]
\[4)\ Получаем:\]
\[AB = CD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]