\[\boxed{\mathbf{366.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Доказать:\ \ }\mathbf{центр\ вписанной\ }\]
\[\mathbf{в\ равносторонний\ треугольник\ }\]
\[\mathbf{окружности}\mathbf{\ }\mathbf{совпадает\ }\]
\[\mathbf{с\ центром\ окружности,\ }\]
\[\mathbf{описанной\ около\ этого\ }\]
\[\mathbf{треугольника}\mathbf{;}\]
\[\mathbf{Доказательство:}\]
\[1)\ Пусть\ ABC - данный\ \]
\[равносторонний\ треугольник.\]
\[2)\ Проведем\ биссектрисы\ \]
\[AA_{1}\ и\ CC_{1},\ они\ пересекутся\ \]
\[в\ точке\ O,\ которая\ является\ \]
\[центром\ вписанной\ \]
\[в\ треугольник\ окружности.\]
\[3)\ Так\ как\ треугольник\ \]
\[равносторонний,\ \]
\[то\ биссектрисы\ AA_{1}\ и\ CC_{1}\]
\[являются\ также\ медианами\ \]
\[и\ высотами,\ тогда\ AA_{1}\ и\ CC_{1} -\]
\[серединные\ перпендикуляры\ \]
\[сторон\ \text{CB\ }и\ \text{AB}.\]
\[Значит,\ точка\ их\ пересечения\ \]
\[O\ является\ центром\ описанной\]
\[\ около\ \mathrm{\Delta}ABC\ окружности.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]