\[\boxed{\mathbf{438.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AM - медиан;\]
\[AD - биссектриса;\]
\[AH - высота.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[D \in HM.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пусть\ AB < AC:\ \]
\[2)\ \angle ADB + \angle ADC = 180{^\circ}\ \]
\[(как\ смежные):\]
\[\angle ADB < 90{^\circ}\ и\ \angle ADC > 90{^\circ}.\]
\[3)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ADC -\]
\[тупоугольный:\]
\[\text{H\ }лежит\ на\ продолжении\ \]
\[стороны\ \text{DC\ }(задача\ №300) \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow H \in DB.\]
\[4)\ Но\ BD < CD\ (задача\ 341):\ \]
\[BD < \frac{1}{2}BC = BM\ \ \]
\[(так\ как\ AM - медиана).\]
\[5)\ Отсюда:\ \]
\[M \in DC\ и\ H \in DB \Longrightarrow \ D \in HM.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]