ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 441

\[\boxed{\mathbf{441.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AA_{1}\ и\ BB_{1} - высоты;\]

\[AA_{1} \geq BC;\]

\[BB_{1} \geq AC\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный\ и\ \]

\[прямоугольный.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[Докажем,\ что\ \angle C = 90{^\circ}.\]

\[Допустим,\ что\ точки\ A_{1}\ и\ B_{1}\ \]

\[не\ совпадают\ с\ точкой\ \text{C.}\]

\[1)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}AA_{1}C -\]

\[прямоугольный:\]

\[AC - гипотенуза \Longrightarrow \ AA_{1} < AC;\]

\[по\ условию\ AC \leq BB_{1} \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow AA_{1} < BB_{1}.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}BB_{1}C -\]

\[прямоугольный:\]

\[BC - гипотенуза \Longrightarrow BB_{1} < BC;\]

\[по\ условию\ BC \leq AA_{1}\ \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow BB_{1} < AA_{1}.\]

\[3)\ Неравенства\text{\ A}A_{1} < BB_{1}\text{\ \ }и\ \]

\[BB_{1} < AA_{1}\ противоречат\]

\[друг\ другу,\ значит,\ \]

\[предположение\ неверно.\]

\[Следовательно:\ \]

\[точки\ A_{1},B_{1}\ и\ C -\]

\[совпадают \Longrightarrow \angle C = 90{^\circ}.\]

\[4)\ AA_{1} = AC\ и\ BB_{1} = BC;\]

\[по\ условию\ AA_{1} \geq BC\ и\ \]

\[BB_{1} \geq AC;\]

\[AC \geq BC\ и\ BC \geq AC \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow AC = BC.\]

\[5)\ \angle C = 90{^\circ}\ и\ AC = BC:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный\ и\ \]

\[прямоугольный.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]