ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 459

\[\boxed{\mathbf{459.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[Дано:\ \]

\[\angle KEM - острый;\]

\[A - лежит\ внутри\ \angle KEM;\]

\[B \in EK;C \in EM.\]

\[Найти:\]

\[\text{B\ }и\ \text{C\ }так,\ чтобы\ периметр\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC\ был\ наименьшим.\]

\[Решение.\]

\[1)\ Построим\ точку\ D_{1},\]

\[симметричную\ точке\ \text{A\ }\]

\[относительно\ луча\ EK,\ и\]

\[точку\ D_{2},\ симетричную\ \]

\[точке\ \text{A\ }относительно\ луча\ \text{EM.}\]

\[2)\ D_{1}D_{2} \cap EK = B;\]

\[D_{1}D_{2} \cap EM = C;\ \]

\[\mathrm{\Delta}ABC - искомый.\]

\[3)\ Докажем.\]

\[По\ неравенству\ треугольника:\ \]

\[D_{1}D_{2} < D_{1}A + AD_{2};но\ \]

\[D_{1}D_{2} = D_{1}B + BC + CD_{2}.\]

\[D_{1}B = BD\ и\ CD_{2} = CD \Longrightarrow \ \]

\[\Longrightarrow D_{1}D_{2} = BD + BC + CA\ \]

\[или\ D_{1}D_{2} = P_{\text{ABC}} - он\ \]

\[наименьший.\]

\[Так\ как\ AB + BC - наименьшая\ \]

\[и\ AC + BC - наименьшая.\]