\[\boxed{\mathbf{484.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[Пусть\ DE\ - \ средняя\ линия\ \]
\[треугольника\ ABC.\ \]
\[Проведём\ через\ точку\ D\ \]
\[прямую,\ параллельную\ \]
\[стороне\ AB.\ \]
\[По\ теореме\ Фалеса\ она\ \]
\[пересекает\ отрезок\ AC\ в\ его\ \]
\[середине,\ т.\ е.\ содержит\ \]
\[среднюю\ линию\ DE.\]
\[Значит,\ средняя\ линия\ DE\ \]
\[параллельна\ стороне\ AB.\]
\[Проведём\ теперь\ среднюю\ \]
\[линию\ DF.\ \]
\[Она\ параллельна\ стороне\ AC.\ \]
\[Четырёхугольник\ AEDF\ - \ \]
\[параллелограмм.\ \]
\[По\ свойству\ параллелограмма\ \]
\[ED\ = \ AF,\ а\ так\ как\ AF\ = \ FB\ \]
\[по\ теореме\ Фалеса,\ \]
\[то\ ED\ = \frac{1}{2}\text{AB.}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]