ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 535

\[\boxed{\mathbf{535.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[\angle A + \angle D = 90{^\circ};\]

\[BN = NC;\]

\[AM = MD.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[MN = \frac{1}{2}(AD - BC).\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Построим\ NE \parallel AB\ и\ \]

\[NF \parallel CD:\ \]

\[\text{ABNE\ }и\ NCDF -\]

\[параллелограммы\ \]

\[(по\ определению\ \]

\[параллелограмма).\ \]

\[2)\ NCDF - параллелограмм:\]

\[NC = FD\ и\ NF = CD.\]

\[3)\ ABNE - параллелограмм:\]

\[BN = AE\ и\ AB = NE.\]

\[4)\ AM = MD;\ BN = NC;\ \]

\[AM = AE + EM;\ \]

\[MD = FD + MF;\]

\[отсюда:\]

\[EM = MF \Longrightarrow NM - медиана\ \]

\[в\ \mathrm{\Delta}ENF.\]

\[5)\ \angle A = \angle NEM\ \]

\[(как\ соответственные);\]

\[\ \angle D = \angle NFM\ \]

\[(как\ соответственные)\text{.\ }\]

\[6)\ \angle D + \angle A = \angle NEM + \angle NFM =\]

\[= 90{^\circ}:\]

\[\angle ENF = 90{^\circ} \Longrightarrow ⊿ENF -\]

\[прямоугольный.\]

\[7)\ В\ прямоугольном\ \]

\[треугольнике\ медиана\ равна\ \]

\[половине\ гипотенузы\ (№404):\ \]

\[NM = \frac{1}{2}\text{EF.}\]

\[8)\ EF = AD - (AE + FD);\]

\[\ BN = AE;\ \ NC = FD;\]

\[EF = AD - (BN + NC) =\]

\[= AD - BC.\]

\[9)\ NM = \frac{1}{2}(AD - BC).\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]