\[\boxed{\mathbf{786.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказать:\]
\[площадь\ описанного\ \]
\[многоугольника\ равна\ \]
\[половине\ произведения\ его\ \]
\[периметра\ на\ радиус\ \]
\[вписанной\ окружности.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Центр\ вписанной\ \]
\[окружности,\ соединенный\ \]
\[отрезками\ с\ вершинами\]
\[многоугольника,\ разделяет\ \]
\[его\ на\ треугольники,\ \]
\[в\ каждом\ из\ которых\]
\[основание - сторона\ \]
\[многоугольника,\ \]
\[а\ высота - радиус\ \text{r\ }вписанной\]
\[окружности.\]
\[2)\ Пусть\ a_{1},\ a_{2},a_{3},\ldots,a_{n} -\]
\[стороны\ многоугольника;\]
\[S_{1},\ S_{2},\ldots,S_{n} - площади\ \]
\[треугольников:\]
\[S_{многоуг} = S_{1} + S_{2} + S_{3} + \ldots + S_{n};\]
\[Получаем:\]
\[S = \frac{1}{2}r \bullet P.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]