\[\boxed{\mathbf{794.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Центр\ окружности,\ вписанной\ \]
\[в\ четырехугольник,\ \]
\[равноудален\ от\ всех\ его\ \]
\[сторон.\]
\[Дано:\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[OK = OL = OM = ON = r -\]
\[расстояния\ от\ центра\ \]
\[до\ сторон;\]
\[окружность\ (O;r).\]
\[Доказать;\]
\[OA;OD;OC;OB - биссектрисы\ \]
\[углов.\]
\[Доказательство.\ \]
\[1)\ ⊿CKO = ⊿CLO - по\ трем\ \]
\[сторонам:\]
\[OK = OL = r - как\ радиусы\ \]
\[окружности;\]
\[OC - общая\ сторона;\]
\[CK = KL - так\ как\ точки\ \]
\[касания\ окружности\ отсекают\ \]
\[равные\ отрезки\ от\ углов\ \]
\[четырехугольника.\]
\[Отсюда:\]
\[\angle KCO = \angle LCO.\]
\[Значит:\]
\[CO - биссектриса\ угла\ \text{C.}\]
\[2)\ Аналогично:\ \]
\[⊿BLO = ⊿BMO;\]
\[\angle OBL = \angle OBM;\]
\[OB - биссектриса\ угла\ \text{B.}\]
\[3)\ Ааналогчино\ для\ \]
\[оставшихся\ биссектрис.\]
\[Следовательно,\ центр\ \]
\[окружности\ \text{O\ }является\ \]
\[точкой\ пересечения\]
\[биссектрис\ четырехугольника.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]