ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 824

\[\boxed{\mathbf{824.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6} - выпуклый\ \]

\[четырехугольник;\]

\[\angle A_{1} = \angle A_{2} = \angle A_{3} = \angle A_{4} =\]

\[= \angle A_{5} = \angle A_{6} = \alpha.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[A_{1}A_{2} - A_{4}A_{5} = A_{5}A_{6} - A_{2}A_{3} =\]

\[= A_{3}A_{4} - A_{6}A_{1}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Допустим:\]

\[A_{1}A_{2} = a_{1};\ \ A_{2}A_{3} = a_{2};\ \ \]

\[A_{3}A_{4} = a_{3};\]

\[A_{4}A_{5} = a_{4};\ \ \ \ A_{5}A_{6} = a_{5};\ \]

\[\ A_{6}A_{1} = a_{6}.\]

\[2)\ Начертим\ продолжение\ \]

\[сторон\ A_{1}A_{6};\ \ A_{2}A_{3};\ \ A_{4}A_{5};\ \ \ \]

\[получим\ \mathrm{\Delta}B_{1}B_{2}B_{3}.\]

\[3)\ 6 \bullet \alpha = 180 \bullet (6 - 2)\]

\[\alpha = \frac{180 \bullet 4}{6} = 120{^\circ}.\]

\[Смежные\ с\ ними\ углы\ будут\ \]

\[равны:\]

\[\angle B_{1} = \angle B_{2} = \angle B_{3} = 60{^\circ}.\]

\[\mathrm{\Delta}B_{3}A_{6}A_{5};\ \mathrm{\Delta}B_{1}A_{1}A_{2};\ \ \mathrm{\Delta}B_{2}A_{4}A_{3} -\]

\[равносторонние:\]

\[B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = B_{1}B_{3}\text{.\ \ }\]

\[Значит:\]

\[a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{3} + a_{4} + a_{5} =\]

\[= a_{5} + a_{6} + a_{1}.\]

\[4)\ Продолжим:\]

\[a_{1} + a_{2} = a_{4} + a_{5};\ \ \]

\[\text{\ \ }a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2};\]

\[a_{3} + a_{4} = a_{6} + a_{1};\ \]

\[\text{\ \ }a_{1} - a_{4} = a_{3} - a_{6};\]

\[a_{1} - a_{4} = a_{5} - a_{2} = a_{3} - a_{6}.\]

\[Отсюда:\]

\[A_{1}A_{2} - A_{4}A_{5} = A_{5}A_{6} - A_{2}A_{3} =\]

\[= A_{3}A_{4} - A_{6}A_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]