ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 830

\[\boxed{\mathbf{830.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AA_{1};BB_{1};CC_{1} - медианы.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\frac{P}{2} < AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} < P.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ ABCD - параллелограмм:\ \]

\[AA_{1} = A_{1}D = \frac{1}{2}\text{AD.}\]

\[2)\ Из\ неравенства\ \]

\[треугольника\ \]

\[(при\ условии,\ что\ BD = AC):\]

\[AD < AB + BD;\ \ \ \]

\[AA_{1} < \frac{AB + AC}{2}\text{.\ }\]

\[3)\ Рассуждая\ аналогично:\]

\[BB_{1} < \frac{AB + BC}{2};\ \ \ \ \]

\[CC_{1} < \frac{AC + BC}{2}.\]

\[4)\ Складываем\ неравенства:\]

\[AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} <\]

\[< \frac{AB + AC}{2} + \frac{AB + BC}{2} + \frac{AC + BC}{2} =\]

\[= AB + BC + AC = P.\]

\[5)\ Из\ неравенства\ \]

\[треугольников\ (\text{AB}A_{1}\ и\ \text{AC}A_{1}):\ \]

\[AA_{1} + A_{1}B > AB;\ \ \]

\[AA_{1} + A_{1}C > AC.\]

\[Следовательно:\]

\[2AA_{1} + A_{1}B + A_{1}C > AB + AC\]

\[AA_{1} > \frac{AB + BC - BC}{2}.\]

\[6)\ Аналогичным\ образом:\]

\[BB_{1} > \frac{AB + BC - AC}{2};\ \ \ \]

\[CC_{1} > \frac{AC + BC - AC}{2}.\]

\[7)\ Складываем\ три\ последних\ \]

\[неравенства:\]

\[AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} <\]

\[8)\ Получаем:\]

\[\frac{P}{2} < AA_{1} + BB_{1} + CC_{1} < P.\]

\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]